Математичні концепції політекономії беруть початок у працях Курно і спираються, переважно, на теорії суб’єктивної корисності та продуктивності факторів виробництва. Виникнення математичної концепції економічної рівноваги зумовлене перетворенням капіталізму на розвинуту господарську систему з високим рівнем взаємозв’язку та однорідності всіх її частин і елементів, а також розвитком математики.

Самостійність і конструктивність математичного методу полягає в тім, що це не тільки метод описування, а й метод дослідження, причому не лише кількісного, а і якісного.

Поряд з Курно перші спроби застосування математики в економіці зробили італієць Дж. Сева, швейцарець Д. Бернуллі, француз Ф. де Форбонна, німець Й. фон Тюнен.

У цілісному вигляді математичну теорію економічної рівноваги репрезентують праці великого французького економіста-математика, основоположника лозаннської школи Леона Вальраса (1834 — 1916).

Головним у творчості Вальраса було опрацювання теорії макроекономічної рівноваги. Рівновагу Вальрас характеризував як «стан, за якого ефективний попит і пропозиція виробничих послуг є рівними, існує постійна стійка ціна на ринку продуктів і, нарешті, продажна ціна продуктів дорівнює витратам, втіленим у виробничих послугах. Дві перші умови належать до рівноваги обміну, третя — до рівноваги виробництва». Ці умови Вальрас відобразив за допомогою чотирьох взаємозв’язаних систем рівнянь.

Сам Вальрас сприймав природу рівноваги в такий спосіб. Людина приходить на ринок з певною кількістю товарів і з певним бажанням реалізувати їх за різними цінами. Якщо всі товари пощастило реалізувати за цими цінами, то попит і пропозиція є рівними, а на ринку існує
рівновага. Але якщо попит і пропозиція різні, то ціни будуть змінюватися, аж поки не буде досягнуто певної рівноваги. Це і є загальна теорія рівноваги обміну, завдяки якій Вальрас став відомим у політекономії.

1874 р. він опублікував свою головну працю «Елементи чистої політичної економії», в якій намагався описати замкнену математичну модель загальної економічної рівноваги. Вона претендувала на те, щоб об’єднати всі категорії економіки на грунті принципу суб’єктивної корисності. Вальрас не визнавав трудової теорії вартості й поділяв усіх агентів виробництва на дві групи: власників вироб­ничих послуг (землі, праці й капіталу) та підприємців. Щодо держави, то він визначив їй функції гаранта безпеки громадян, захисника їх соціальних інтересів, здатного створити умови для ефективної конкуренції в суспільстві й забезпечити всім однакові права.

У Вальраса власники виробничих послуг є продавцями цих послуг і одночасно покупцями предметів споживання. Підприємці, навпаки, є покупцями виробничих послуг і продавцями споживчих продуктів. Виробництво й споживання виявляються зв’язаними за допомогою ринків виробничих послуг та споживчих продуктів.

Отже, в основу математичної моделі Вальраса покладено ринковий підхід до економічних явищ. Рівновага в економіці не зводиться до ринкової рівноваги, але її можна досягнути тільки через ринковий механізм, через обмін.

Основний інструмент у цьому механізмі — ціна. Вирівнювання попиту і пропозиції товарів відбувається за допомогою пошуку взаємоприйнятних цін, які є цінами рівноваги.

Рівноважна ціна встановлюється у точці рівноваги між корисністю товарів і витратами на їх виробництво. Ціна є регулятором пропорцій обміну. Вона забезпечує сполучення ступеня корисності споживної вартості з рівнем витрат. Для покупця ціна — критерій оцінки корисності даного товару щодо корисності інших товарів. Для продавця корисність ціни визначається співвідношенням прибутку і витрат, необхідних для виробництва товару.

Концепція маржинальної корисності була тільки першим кроком у розвитку теорії, відомої як Вальрасова система загальної рівноваги. Його система, на відміну від систем, опрацьованих його поперед­никами, включає всю сферу прояву вартості й ціни.

Вальрас допускав досконалу конкуренцію та однакові ціни за умов даного ринку. Він, використовуючи математичні методи, показав, що досягнення загальної рівноваги за даних умов ринку потребує виконання певних правил. По-перше, для будь-якого індивідуума існує крива корисності кожного товару або послуги, наданих на ринку. По-друге, індивідуум максимізує корисність товару або послуги шляхом обміну. По-третє, він має отримати максимальне задоволення, якщо ціна, сплачена за обміну, пропорційна маржинальній корисності купленого товару. По-четверте, пропозиція кожного товару й послуги має дорівнювати попиту на них, а відтак ціна кожного товару або послуги — дорівнювати змінним витратам, які зроблено в процесі довготривалого виробництва.

Основні закони, дотримування яких забезпечує рівновагу:

1) товари одного класу на ринку повинні мати тільки одну ціну;

2) ціна товару зрівнює кількість запропоновану і кількість споживану;

3) ціна має забезпечувати максимальне задоволення і покупцеві, і продавцю.

Дія цих законів забезпечить рівновагу. Їх можна застосувати до товару або послуг не лише на споживчому рівні, а й на виробничому.

Треба, проте, зауважити, що теорія Вальраса — це теорія економічної статики, яка не враховує факторів ризику та невизначеності, циклічних коливань, технічних нововведень тощо.

Вільфредо Парето (1848—1923) — італійський економіст і соціаліст, що також зробив великий внесок в економічну науку. Головна ідея, яку він пропагував, полягала у створенні економічної теорії, «очищеної» від понять цінності й корисності.

На його думку, політична економія має вивчати механізм встановлення рівноваги між потребами людей та обмеженими ресурсами для їхнього задоволення. Намагаючись теоретично обгрунтувати модель взаємозалежності всіх економічних факторів, що впливають на суспільне виробництво і споживання, він широко користувався математичними методами аналізу.

Парето розвинув теорію добробуту або, як її інакше називають, теорію економічного оптимуму, суть якої полягає в оптимальному розподілі економічних ресурсів і благ, що виробляються. За Вальрасом, як відомо, в результаті еквівалентного обміну кожен його учасник отримує максимум корисності. Удосконалюючи теорію загальної економічної рівноваги Вальраса, Парето уточнив критерії стій­кої рівноваги, сформулював її умови, що отримали назву «оптимуму Парето». Рівновага трактувалася ним як економічний стан, за якого неможливо поліпшити становище когось з учасників обміну, не погіршивши становища хоча б одного з них. Рівновага настає тоді, коли діаметрально протилежні сили та бажання й усі численні перешкоди буде збалансовано.

На відміну від Вальраса, він розглядав стан рівноваги в часі, а також допускав коливання коефіцієнтів виробничої функції залежно від розмірів випуску продукції, намагався «очистити» теорію рівноваги від «психології», виключивши етичні мотиви економічної поведінки суб’єктів господарювання.

Парето обгрунтував неправомірність визначення сукупної корисності як суми індивідуальних корисностей. Корисність можна виміряти, але не кількісно, а шляхом оцінювання ступеня пріоритетності для покупця. Це означає, що споживчі вартості («корисності») ранжуються за критерієм переваги, за рівнем пріоритетності. Корисність для окремої особи чи фірми не рівнозначна корисності для всього суспільства.

За споживацькими перевагами здійснюється й порівнювання результатів і витрат. Коли економіка досягає оптимуму, то дальше поліпшення будь-яких важливих показників, за Парето, можливе лише внаслідок глибоких структурних зрушень. На підставі цього він зробив важливий соціальний висновок. Для того щоб підняти рівень мінімального доходу або зменшити розрив у доходах, необхідно забезпечити прискорене збільшення багатства порівняно з кількістю населення. Отже, стверджував Парето, проблема поліпшення умов життя найбідніших верств населення є насамперед проблемою створення багатства.