Кілька років пізніше з´ясувалось, що висновки з моделі Гаррода - Домара можуть бути дуже невдалими. Теорії зростання були надані нові напрями Роберта Солоу. Солоу народився в Брукліні (Нью-Йорк) 1924 року. В 1947 р. закінчив Гарвард, а в 1951 р. отримав звання доктора філософії. Його дисертація була про "Випадкові процеси", що є наслідком нерівності доходів, а розподіл доходів залишався темою його життя. У 1950 р. Солоу посів посаду професора статистики на факультеті Масачусетського інституту технологій. Через чотири роки він став професором економіки. У 1957 і 1977 pp. його призначили на посаду професора інституту. Солоу був ентузіастом та добрим викладачем, який надихав багатьох майбутніх науковців. Він розгорнув співпрацю з П. Семуелсоном. В адміністрації Кеннеді Р. Солоу працював головним економістом в раді економічних радників і в комісії з підтримки прибуткових програм при президенті Джонсоні.

Наприкінці 70-х років XX ст. Солоу був президентом Федерального Резервного Банку в Бостоні. Протягом кількох років він отримував багато звань, а також нагород, включаючи медаль Американської Економічної Асоціації, кілька почесних звань і на кінець 1987 року - Нобелівську премію. Солоу працював у сфері економіки (макроекономіки). Він не будував економічних моделей, а лише використав підхід П. Семуелсона для зниження проблем у кількох головних зв´язках, які розглядаються в мікроекономіці. Як й інші видатні економісти його покоління, він не опублікував численних книжок, тому його слава спочиває на кількох виняткових працях. Після ранніх праць про мультиплікатор і лінійні проблеми Солоу зайнявся проблемою економічного зростання. Разом з Семуелсоном (1953 р.) він показав, що закрита система Ньюмена, з постійним поверненням до початкового стану і замінними факторами, має унікальну структуру і рідкісний та стабільний рівень зростання.

Його праця "Внесок в теорію економічного зростання" зробила крок до відкритої системи. Солоу помітив, що властивість бритви з двома лезами на моделі Гаррода - Домара має схильність чергуватися з безробіттям і надлишковою зайнятістю й може бути зумовлена співвідношенням К/Х швидше, ніж природними змінами в економіці.

Якщо фактори не можуть бути використані лише у фіксованій пропорції, то дуже дивно, чому деякі не можуть знайти роботу. Тому Солоу запропонував дозволити взаємозамінність факторів. Він припускав, що праця зростає не стабільно (п), і що нагромадження капіталу є постійною часткою прибутку:

К - с - У.

Фіксоване співвідношення К до X було замінено лінійною функцією Y = F(K, L), що дозволило заміну капіталу і праці для однакового обсягу виробництва. Солоу не був першим, хто звернувся до такої моделі зростання. У 1942 р. Ян Тінберсен використав функцію виробництва як наріжний камінь складного аналізу процесів зростання. Однак його дослідження не привернули нічиєї уваги. Частково це було зумовлено тим, що його публікація з´явилась у німецькому журналі під час війни. До цього ще слід додати, що, розвиваючи нову методологію, він не оминув обтяжливого математичного розрахунку. В подальшому його головним зацікавленням було не збалансоване зростання, а лише різні типи незбалансованого зростання.

Джеймс Тобін вперше узагальнив модель Гаррода - Домара, дозволивши заміну факторів. Одночасно він додав попит на реальну готівку, який задовольняється грошима, сплаченими у вигляді дефляції або безготівкових платежів. Тому шлях економічного зростання став залежним від монетарних факторів. Солоу вдалося виразити інтенсивність капіталу через k = K/L. Обсяг виробництва можна записати так:

Y = LF(k, l) = Lf(k), 

а зміну k:  

 

або 

 

- це і є головне рівняння Солоу.

Зміна інтенсивності капіталу за певний час є різницею заощаджень, помноженою на одиницю капіталу після того, як додаткові працівники приступають до роботи з додатковим капіталом. Якщо sf(k) = пk, інтенсивність капіталу залишається незмінною, економіка зростає без зміни її структури. Це є шлях до збалансованого зростання. Стабільність цього шляху найкраще випробовується на графіку (рис. 15), який побудував Солоу.

 

Рис. 15

 

Промінь пк вказує, скільки повинен заощадити середньостатистичний працівник на кожній одиниці інтенсивності капіталу, щоб забезпечити своїх дітей готовим капіталом. Крива sf(k) показує, скільки нагромаджень він заощаджує на кожній одиниці інтенсивності капіталу. Зміна інтенсивності капіталу вимірюється вертикальною лінією між цими двома кривими. Якщо економіка є в точці к₁ ця зміна позитивна, тому економіка рухається праворуч до подальшого к. Якщо економіка - у точці к₂, зміна негативна, економіка рухається ліворуч. В обох випадках економіка буде зводитись до точки к*, яка відображає шлях збалансованого зростання. Цей шлях стабільний і тут немає леза бритви.

У моделі Солоу рівень збалансованого зростання не залежить від заощаджень. Схильність до заощаджень спричиняє (визначає) інтенсивність капіталу, а також реальний прибуток. Але рівень зростання залежить лише від населення і технології. Усі ці дослідження, які ґрунтувалися на моделі Гаррода - Домара, мали на меті підсилити тривале зростання там, де тільки почалися тимчасові імпульси. Однак, чи будуть ці імпульси тривати кілька років, чи десятиліття - залишається під сумнівом. Солоу також модифікував і доповнив свою головну модель за допомогою альтернативної функції виробництва, в яку включив фактор цін, технологічні зміни, зміну рівня заощаджень, пропозицію праці та оподаткування. Врешті ця його робота стала найбільшою працею з аналізу в теорії зростання. Вона також зробила внесок у доктрину методології, надавши виробничим функціям замінні фактори, хоча Вальрас і написав свою найважливішу працю в термінах фіксованих коефіцієнтів. На жаль, цей блискучий економічний внесок був неправильно трактований як прапор окремої школи економістів. Виробнича функція стала предметом розбрату між лівими і правими кейнсіанцями. Праця Солоу ініціювала швидкий розвиток теорії зростання в різних напрямках, в які він вніс багато цікавого. Солоу помітив, що рівень заощадження з різними рівнями виробництва на одиницю капіталу призводить до необхідності вибору оптимального шляху зростання.

Інші дослідження стосувалися обмежених природних ресурсів. У 1956 р. запропонована модель, в якій було можливим зростання всіх факторів, а результат залишався постійним. Це було зроблено в неокласичному дусі. Теорію просунули вперед від спадних результатів Малтуса і Рікардо. Однак функція виробництва зі спадним результатом є достатньою для узгодження її з класичними традиціями. У поєднанні з ендогенним зростанням населення (залежно від рівня зарплати) та ендогенних заощаджень (залежно від рівня відсоткової ставки) теорія зростання перетворилася на сучасну версію "канонічної класичної моделі". Отже, односекторна модель була розширена до двосекторної через поєднання сучасної теорії зростання з марксистською традицією репродукції на розширеній основі.

Технічні зміни порушили подальше питання про розмір, до якого історичне зростання доходу на душу населення спричинене нагромадженням капіталу і технічного прогресу. Економісти дійшли висновку, що наскільки головна частина зростання приписується до технічного прогресу, настільки схильність до нагромадження капіталу зменшується.

Класичну позицію представив Шумпетер, який наполягав на важливості технічних змін, що врешті було гаряче підтримано. Потім з´явилася думка, що внесок капіталу недооцінений. Технічний прогрес переважно втілений в устаткування - так уважав Ніколас Кальдор та ін. Але його розроблення вимагає впровадження нового обладнання, в той час як існуюче обладнання розраховане на старі технології.

Щоб розвинути цей фактор, Солоу дослідив моделі, в яких обладнання різних старих марок працювало на різних технологіях.

Ранні роботи Солоу з економічного зростання ґрунтувалися на виробничих функціях Кобба - Дугласа, що призвело до експериментів з різними класами функцій, які були не такими обмежуючими і дозволяли зміни в частках факторів. Результат опублікували Арроу, Ченері та Мінхас 1961 року і назвали його "функція з незмінно еластичною заміною".

Увага Солоу була спрямована на межі економічного зростання^. Він вирішив дослідити наслідки вичерпності ресурсів, які використовуються для економічного зростання. Розвиваючи тему Гаррода - Готелінса, він винайшов критерій для оптимального рівня вичерпності ресурсів. Він також відкрив міжгенераційну рівність ресурсного використання в руслі принципу Джона Роуна, за яким: невідомо яке покоління бідніше - теперішнє чи майбутнє. Він відобразив дозволену межу використання ресурсів ранніми поколіннями, яка має йти в ногу з нагромадженням репродуктивного капіталу.

Хоча ця робота з економічного зростання зробила Солоу неокласиком, він залишався кейнсіанським макроекономістом. Разом з Семуелсоном він рекомендував криву Філіпса як основний інструмент макроекономічної політики; разом з Аленом Пліндером запропонував довготермінову динаміку монетарної й фіскальної політики в кейнсіанській моделі з обмеженим урядовим бюджетом. Процес, спричинений тривалими змінами в пропозиціях грошей чи емісіях облігацій, є результатом фінансування дефіциту бюджету. Висновки такі: процеси купівлі на відкритому ринку можуть бути скорочені й у стабільній економіці фінансування витрат за допомогою облігацій мають сильніший і триваліший вплив на виробництво, ніж витрати, фінансовані емісією. Ці пропозиції, на перший погляд, парадоксальні, були радше провокативними, ніж ефективними, але на папері був створений ще один аспект для посткейнсіанських дебатів.

Солоу був чудовим ученим з талантом поєднання прозорого синтезу з інструкцією. Його праця "Лінійне програмування та економаналіз", написана разом з Дорфманом і Семуелсоном, стала класичним введенням у нові й складні галузі. У циклі лекцій "Теорія капіталу і рівень зворотності" учений стверджував, що економічна теорія не обов´язково потребує такого фактора виробництва, як капітал. "Теорія зростання" є синтетичним висвітленням об´єкта, про який вперше згадувалось 1956 року. Золоте правило незалежно один від одного відкрили шість авторів. Це був помітний випадок кратного відкриття. Кратність не була випадковістю. Солоу довів, що економіка може йти шляхом збалансованого зростання, якщо інтенсивність зростання капіталу відповідає рівневі заощадження. Чим більще заощаджень, тим вища інтенсивність капіталу в збалансованому зростанні й більше виробництво на душу населення. Це зумовило питання, чи збільшення виробництва на душу населення завжди бажана річ. Теорія вимагала відповіді; її було не важко знайти. Тому й не дивно, що кілька вчених одночасно дали відповідь майже одразу після виходу праці Солоу. Але суперечки щодо концептуалізації проблеми точилися кілька років. Першим відповідь на це запитання опублікував Едмонд Феякс, молодий професор з Єлі, пам´ятаючи правило: "чини з іншими так, як би ти хотів, щоб учинили з тобою". Це правило учений назвав золотим правилом нагромадження капіталу. Він вважав, що кожне покоління повинно інвестувати заради інших поколінь таку частку прибутку, яку б воно хотіло, щоб у нього заінвестувало попереднє покоління. З´ясувалося, що рівень відсотка дорівнює рівневі економічного зростання. Ця умова стала стандартною формою золотого правила.

Навіть до опублікування "байки для дослідників зростання" це правило прийшло до голови й іншим. Жак де Срусо застосував його 1959 року, а опублікував - 1961 року. Тревор Сван представив це правило 1960 року на конференції Міжнародної економічної асоціації. До цього ж висновку дійшли також Джеймс Міде, Карл Крістіан фон Вайцзекер, Джон Робінсон, Девід Чамперновне, які описали це правило в журналі "Review of Economic Studies". Для отримання вигоди із золотого правила Фелнс підсумував, що економіку треба примусити йти шляхом збалансованого зростання з рівнем зростання встановленого населенням (і, мабуть, технологіями).

Припустімо, в якийсь момент чарівна фея пообіцяла обладнати економіку необхідним капіталом. За умови, що співвідношення капітал/праця, досягнуте таким чином, повинне підтримуватися на власних заощадженнях економіки. То ж постає питання, якого обсягу капіталу повинна вимагати економіка? Якщо капітал буде величезним, то виробництво капіталу на душу населення буде значним, але більшість його повинно бути заощаджено, залишаючи малу частку для споживання. Якщо капітал невеликий, майже весь прибуток буде спожитий. Тому повинна бути величина капіталу, для якої би споживання на душу населення було максимальним. Якщо початковий капітал вільний, то це ймовірно для досягнення. Критерієм максимального споживання є інтуїція. Приріст капіталу на душу населення dk збільшує виробництво до f(k)dk. Ці символи відповідають символам попередньої моделі. Одночасно заощадження, які потрібні для підтримки капіталу, зростають до ndk. Зростання к є більш бажаним, бо f (к) (п і максимум споживання) досягається при f (к) = п. Граничне виробництво капіталу повинно дорівнювати рівневі економічного зростання. Результат простий і випливає з чіткої оптимальності. У збалансованому зростанні є головна рівність Солоу пк = = sf(k). На душу населення споживання (виробництво без заощаджень) запишемо:

с = f(k) - sf(k) = f(k) - пк                           (13.1) 

Його максимізуємо до: f (к) = п

Ефект швидкого зростання споживання може бути спричинений зміною рівняння,

 

Швидке зростання спричинює збільшення заощаджень і узгоджується з низьким сталим державним споживанням. Жертва у споживанні є прямо пропорційна інтенсивності виробництва капіталу. Ця оптимізація зображена на рис. 16.

 

Рис. 16 

 

Відстань між кривою і необхідним нагромадженням капіталу пк досягає максимуму там, де f(k) має бути таким, що sf(k) перетинає криву пк у точці оптимальної інтенсивності капіталу К. Золоте правило пов´язує функції виробництва і технології при заданому рівні зростання. Усі інші аспекти несуттєві, хоча правило може бути пов´язане з ними. Граничне виробництво капіталу дорівнює рівневі відсотка. Золоте правило каже, що споживання є максимальним тоді, коли рівень відсотка відповідає рівневі зростання: і = п.

Цю формулу запропонував де Срусо 1961 року, а Вайцзекер, Робінсон, Чамперновне, Алаїс - 1962 року. Тому швидко зростаючі економіки характеризуються високим рівнем відсотка. А статична економіка буде максимізувати своє споживання, підтримуючи свій капітал на насиченому рівні, тримаючи при цьому рівень відсотка на нулеві.

Здається, ніби уявлення, що відсоток є суттєвим динамічним феноменом, підтвердилось. Насправді погляди на це явище не є одностайними. Наприклад, Шумпетер стверджував, що відсоток зумовлений технологічними нововведеннями; при незмінних технологіях він повинен зникнути. Це заперечує золоте правило, бо рівень відсотка позитивний навіть за відсутності нововведень. У тому зв´язку головне рівняння Солоу можна записати так:

 

Золоте правило передбачає, що рівень заощаджень дорівнює еластичності виробництва, що залежить від капіталу, а також рівень заощаджень відповідає рівневі прибутку. Всі прибутки повинні бути заощаджені, але цього не достатньо, щоб вивести економіку на рівень достатнього споживання, бо немає гарантій, що на початку вона мала потрібний обсяг капіталу.

У двофакторній моделі зарплати w є залишком від виробництва після того, як капітал був оплачений граничним продуктом. Використовуючи золоте правило з попередніх рівнянь, можна вивести:

w = f(k) - f2(k)k = f(k) - nk = С. 

На шляху максимального споживання зарплати проїдаються. У загальному наведені рівняння нам нічого не кажуть про поділ заощаджень, прибутку, зарплат, споживання між різними верствами суспільства. Ці ж самі люди можуть заробляти і зарплати, і прибутки, а індивідуальні заощадження не обов´язково кореспондують з індивідуальним прибутком від капіталу. Для прикладу можна згадати двокласове Кальдоріанське суспільство, в якому працівники отримують тільки зарплати, а капіталісти - лише прибутки. Звідси золоте правило твердить, що працівники не заощаджують, а капіталісти не споживають.

Золоте правило приваблювало економістів тим, що воно відобразило критерій для оцінки економічного стану. Це було досягнуто радикальними спрощеннями. Їх природа може бути найкраще оцінена, якщо поставити проблему оптимального нагромадження капіталу в загальному вигляді. Френк Релезей (1928 р.) вперше зробив розрахунки різних варіацій, які б забезпечили оптимальний шлях заощаджень. Ключем було відповідне зважування майбутнього споживання з сучасним споживанням. Його модель була спланована для незмінного населення з фіксованим рівнем споживання.

Особливістю було те, що проблема для зростаючого населення з необмеженими потребами не піддавалася моделюванню до 1961 р. Зрозуміло, що оптимальний шлях починається з будь-якого стартового капіталу з обмеженням збалансованого зростання, уникаючи потреби зважування сучасного проти майбутнього споживання, забезпечило радикальні спрощення, що призвело до відчутних результатів.

Золоте правило передбачило деякі практичні напрями. У реальному житті немає чарівної феї, яка б приносила подарунок у вигляді капіталу.

Якщо успадкований капітал менший, ніж передбачає золоте правило, його спочатку треба буде нарощувати за рахунок заощаджень, інакше економіка повинна нарощувати споживання. В обох випадках оптимізація вимагає зрівноваження сучасного споживання з майбутнім. Навіть незважаючи на всі обмеження, золоте правило стало великим внеском у теорію; воно привернуло увагу до нового типу відносин між відсотком і зростанням. У класичній моделі зростання з обмеженою тенденцією до спаду прибутків має місце стагнація та затухаючі мотиви до заощаджень.

У теорії капіталу, в її мусовій парадигмі, відсоток пов´язаний з рівнем, на якому ростуть дерева. У моделі загального еквілібріуму Джона фон Ньюмена рівність рівня зростання і рівня відсотка є результатом дуалістичних проблем максимізації попереднього і мінімізації подальшого в моделі із змінним зростанням і без будь-якої оптимізації споживання. У моделі Солоу побудована по-різному та ж сама рівність перетворилася на умову для максимального постійного споживання при заданому рівні зростання. Отже, відсоток і зростання пов´язані між собою, ніби дивом.

Золоте правило стало вершиною розвитку теорії зростання, що зробило внесок в основу теорії економіки. Підприємницькі нововведення Шумпетера, подвійне лезо ножа Гаррода, саморегулюючий мотор зростання Солоу, золоте правило Фелнса усе це важливі передбачення щодо реальної економіки. Після золотого правила теорія перейшла до рук математиків і розвинулась далі.