Панфілов В. О.

Розглянуто модель духовності, що складається з історичної та теоретичної концептуальних схем діалектичного осмислення математики в історії античної метафізики

Постановка проблеми. Історико-математична основа дослідження філософського осмислення математики Платоном базується на визнанні його вкладу саме в математику. “Можна сказати, що Платон був просто одержимий математикою..., він з певного періоду свого життя починає вивчати математику та «пропонує нові напрями досліджень” [2].

Аналіз літератури дозволяє стверджувати, що висока оцінка групою французьких дослідників математичних занять Платона, гіпотеза К. Поппера про його програму геометризації античної математики змушують ставитися до платонівської філософії математики з пильною увагою.

Метою статті є дослідження моделі духовності, що складається з історичної та теоретичної концептуальних схем діалектичного осмислення математики в історії античної метафізики.

Виклад основного матеріалу. Історико-філософський базис необхідності аналізу філософії математики Платона має своє коріння у давньогрецькій інтелектуальній революції, в ході якої суперечки про поняття, які в основному відомі з діалогів Платона, завершились створенням культури дефініцій як найважливішої риси античного раціоналізму. Логіко-риторичний характер цього раціоналізму визначається тим, що “від усіх станів думки та форм пізнання, які йому передували, його різко відділяла наявність методичної рефлексії, зверненої, по-перше, до самої думки, по-друге, до інобуття думки у слові. Рефлексія, звернена до думки, спричинила відкриття гносеологічної проблеми та кодифікацію правил логіки; рефлексія, звернена до слова, спричинила відкриття проблеми “критики мови” та кодифікацію правил риторики та поетики” [1].

Раціоналізм античної інтелектуальної революції є дедуктивним тому, що “логіка, яку він розробляє, є насамперед технікою силогізму, тобто дедукції - ієрархічного руху зверху вниз, під час якого загальне приймається за первинне по відношенню до часткового: первинним передусім гносеологічно, тобто більш пізнавальним, більш вірогідним, але також і онтологічно, тобто більш реальним. Риторика, як техніка “загальних місць”, є необхідним корелятом такої логіки” [13]. “Начала” Евкліда - класичний приклад логічного та дедуктивного раціоналізму, на думку деяких дослідників, він є основою філософсько-математичної методології “Тімея”. Отже, історико-філософське осмислення інтелектуальної революції античності та давньогрецького раціоналізму не буде повним без з’ясування того, що філософія математики Платона виступає важливою духовною частиною його теоретичного вчення як у метафізиці, так і в математиці.

Соціокультурний аспект виправдання вибору проблеми виходить з того, що взаємодія філософії та математики багато в чому визначила як духовний, так і технічний розвиток усієї світової цивілізації. А. Уайтхед відзначає, що в історії взаємного впливу філософського та математичного знання “мали місце дві великі епохи її (математики - В. П.) прямого впливу на головні тенденції мислення, і кожна з них тривала приблизно 200 років. Перша епоха тривала від часів Піфагора до Платона, коли грецькі мислителі заклали основи самої можливості науки та її специфічного загального характеру. Друга ж епоха охоплює собою Новий час - XVII-XVIII ст.” [13].

Філософія математики Платона, яку було розвинено у вченнях Декарта та Лейбніца, Канта та Гегеля, закладала основи науково-механічного світогляду, технічної творчості, соціальної стратифікації, економічної незалежності, містичної духовності, естетичної визначеності і т.ін. “В епоху Піфагора неосвічене язичництво у традиційному вигляді гарних ритуалів та магічних звичаїв переходило на нову стадію свого розвитку під впливом двох культурних тенденцій. Людьми оволодівали хвилі релігійного ентузіазму, який кличе до пошуків безпосереднього досягнення глибин буття. На іншому полюсі перебувало критико-аналітичне мислення, що прокидалось та просякало з холодною байдужістю у сфери найвищих сенсів” [13].

Своєрідне злиття цих тенденцій являє собою філософія математики Платона.

Модель духовного креаціонізму у взаємодії філософії й математики у творчості Платона складається з історичної та теоретичної концептуальних схем діалектико-метафізичного осмислення математики в об’єктивному ідеалізмі.

Історична еволюція філософського осмислення математики у творчості Платона, як концептуальна схема, має такі особливості:

- сократичний погляд на математику у ранніх діалогах;

- математичний фундамент об’єктивно-ідеалістичної теорії ідей;

- філософія математики у “Державі”;

- математичне обґрунтування діалектики пізнання і буття;

- математичний базис натурфілософії, вчення про космос та методології;

- зростання впливу піфагоризму у пізній творчості Платона.

Теоретичні принципи духовної творчості у філософії математики Платона,

як концептуальна схема, складаються з таких положень:

- ейдетичне бачення природи математичних об’єктів;

- діалектико-кількісна структуризація математичного пізнання і буття;

- споглядальний статус і серединна предметність математичних основ;

- ґенеза, класифікація і конкретні предмети математичних наук;

- раціональність математичного виведення з першопочаткових елементів;

- умоглядність прийомів та дій конкретних математичних наук.

Концептуальна схема історичної еволюції філософсько-метафізичного осмислення математики у філософії математики являє собою систему особливостей діалектичного осмислення математики в різні періоди становлення вчення Платона.

Розглянемо більш докладно кожне положення концептуальної схеми історичної еволюції філософського осмислення математики у творчості Платона. Аналіз математики як феноменологічного підґрунтя його філософії почнемо не з дослідження геометрії як базису онтології, астрономії, як основи теорії пізнання і арифметики, як фундаменту методології, а з розгляду філософських питань математики в різні періоди творчості афінянина, починаючи з ранніх сократичних діалогів і завершуючи “Післязаконням”. Опис ідейної еволюції філософських поглядів Платона на математику дозволить більш точно з’ясувати концептуальну схему діалектичного аналізу математики і конкретизувати саме поняття “Філософія математики Платона”.

Якщо зупинитися на сократичному погляді на математику в ранніх діалогах, то треба зазначити, що математичні приклади й аналогії при вивченні питань про природу неправди, переконанні одного чи багатьох людей і т.ін., є першими проявами філософії математики Арістокла. Спорадичне використання математичних ілюстрацій для демонстрації прийомів визначення етичних категорій, процедур софістичних суджень і т.ін. є свідченням існування філософських поглядів на математичне знання як відоме раніше, загально значиме. Висока математична освіта Платона, який, за визначенням К. Поппера, арифметизації піфагорійців протиставив геометризацію, що знайшла своє завершення в “Началах” Евкліда як у спробі несуперечливої математизації космології світотворення.

Розглянемо філософські погляди Платона на математичний фундамент об’єктивно ідеалістичної теорії ідей, виражений в сократичних діалогах «Евтіфрон», “Хармід”, “Протагор” та пов’язаний з визначенням окремих моральних понять, що далі, збігаються з переходом до субстанціонального розуміння ейдосів в “Горгії”, “Меноні”, “Кратілі”, “Гіппії меншому”, “Іоні”.

Звернемося тепер до аналізу математики як феноменологічного підґрунтя першого періоду зрілої творчості Платона, коли створюється відоме вчення про ідеї як про самостійні та субстанціональноіснуючі об’єкти більш високої дійсності. Відзначимо, що якщо у ранніх діалогах зустрічаються такі, в яких про математику взагалі не згадується, то в зрілих діалогах такого не буває, хоча, звісно, найбільш інтенсивне застосування математики пов’язане з другим періодом розквіту творчості Платона.

Філософські питання математики у “Федоні”, “Пірі”, “Федрі” і “Державі” створюють онтологічну, гносеологічну, методологічну, педагогічну основу теорії ідей, вчення про освіту правителів, доказ безсмертя душі і т. ін.

Філософський аналіз математики, проведений Платоном у “Державі”, завершує той період творчості, коли створюється діалектична та об’єктивно- ідеалістична теорія ідей. Найбільшу увагу філософії математики приділено у Книгах 6 та 7.

Відоме сходження до безпередпосилкових основ, визначення ідеї блага, розподіл світу на осягнутий розумом та видимий, викладені у Книзі 6 та 7, певним чином спираються на уявлення про математичну методологію.

Книга 7 [9], що відома символом печери, визначенням діалектичного методу, ієрархією наук, спрямованих на осягнення чистого буття, роллю математики у навчанні правителів у контексті мистецтва звернення людини до споглядання ідей, побудована на фундаменті філософських уявлень про математику при вирішенні кожної з указаних проблем.

Математичне обґрунтування діалектики пізнання і буття проводиться у другій групі діалогів Платона зрілого періоду його творчості, в якій ідеальний світ існує в уяві, але уява звернена на натурфілософію, фізичний світ, конструкцію космосу і т. ін., має конструктивно-логічний, а не художньо- міфологічний характер.

У цій групі можна виділити дві підгрупи: перша - “Теєтет”, “Софіст”, “Політик” та “Парменід” - орієнтована на розгляд філософських питань математики в контексті пізнання й буття, діалектики одного та іншого. Друга підгрупа творів, до якої належать “Філеб” і “Тімей”, спирається на філософію математики при конструюванні загальної діалектики, як ідеї, що породжує модель та загальну міфологічну діалектику космосу в ході натурфілософського осмислення геометричної природи стихій-основ і т. ін.

Математичний базис натурфілософії, вчення про космос і методології, що сформульований у «Тімеї», - наступна ланка історичної концептуальної схеми.

Математична основа пропорційного співвідношення душі й тіла космосу, який будується деміургом, досить детально досліджені В.Ф. Асмусом, А.Ф. Лосєвим, О.І. Кедровським, П.П. Гайденком, В.П. Візгіним та ін. Тому в ході історичної реконструкції розвитку поглядів Платона на математику ми на них зупинятися не будемо, залишивши їх для теоретичної частини аналізу його філософії математики. Розглянемо тільки декотрі менш відомі філософські питання математики “Тімея”.

Вплив математики на міфологічну діалектику світостворення має місце вже в одностайності живого та вседосконалого єдинородного неба або єдиного космосу [10], що, безумовно, пов’язана з піфагорійським уявленням про одиницю, монаду. Платон вважає, що риси Всесвіту “пристойні та сродні” [10], маючи на увазі кулеподібність космосу.

Зростання впливу піфагоризму у пізній творчості Платона пов’язано з тим, що філософський аналіз математики в останніх його діалогах відрізняється сутнісною зміною підходу. Загальна трагедія життя й творчості афінянина знаходить своє відображення і в його філософії математики, що повертається до свого витоку - піфагоризму. Однак це повернення відбувається досить непомітно при написанні “Законів” і завершується у “Післязаконні”. Причому треба зазначити, що це не просто повернення до релігійно-містичного культу числа, а, безумовно, опосередковане уточнення, зсув платонізму до поняття ейдетичної мудрості як числової, науки благочестя як астрономії і т. ін.

Філософські питання математики в “Законах” слугують переходом від обґрунтування математичними міркуваннями натурфілософських, космологічних та методологічних конструкцій до майже нестерпної насолоди числовою мудрістю, обожнювання астрономії тощо. Відрізняючи два роди благ: людські - здоров’я, красу, силу та багатство, та божественні - розуміння, здоровий стан душі, справедливість і мужність, Платон діходить висновку, що “із пізнанням наук пов’язані насолода і приязність, а істина довершує правильність, користь, благо і красу” [10].

Підсумовуючи розгляд еволюції філософських поглядів Платона на математику, доходимо таких висновків. По-перше, можна простежити за зміною основних етапів розвитку філософії математики Платона залежно від головних етапів його творчості. По-друге, слід більш чітко з’ясувати роль математики в обґрунтуванні діалектичних, онтологічних та інших аспектів вчення Платона. По-третє, треба уточнити саме поняття “філософія математики Платона”. По кожному з цих аспектів будуть зроблені резюмуючі нотатки.

Філософські роздуми про математику виникають у Платона ще в сократичних діалогах “Евтіфрон”, “Хармід” і “Протагор”, в яких визначення окремих моральних понять у певних аспектах пов’язане з математичними ілюстраціями, вимірами тощо. Робиться це досить спорадично, побічно. Наприклад, у “Протагорі” здійснено спробу (дещо декларативно) кількісної оцінки добра і зла за допомогою мистецтва виміру.

Відхід від сократичних поглядів на математику відбувається в ранніх творах “Горгій”, “Менон”, “Кратіл”, “Гіппій менший”, “Іон”. Зміна ставлення до математики перебуває в ілюстративному виправданні геометричною теоремою деяких основних положень теорії пригадування; математичний підхід до принципів етики базується на розрізненні геометричного та арифметичного рівнянь. Філософські підходи до поняття ідей як закону для одиничного спираються на уявлення про те, що астрономічний порядок Всесвіту теологічно й телеологічно задає необхідність та можливість математичного підходу до таких сфер буття, як онтологічна, етична, фізична і т. ін. Небесне та мовне походження імен доповнює й передує небесному походженню математичних наук (яке буде постульоване пізніше), а стосовно виникнення математичних термінів демонструє збалансованість і гнучкість.

На наступному етапі розвитку філософії математики Платона відбувається перехід до математичного базису об’єктивно-ідеалістичної теорії ідей у вченні про безсмертя душі, ейдосі душі як межі і т. ін. Діалоги “Федон”, “Пір” і “Федр” спираються на математичний фундамент більш суттєво в таких конструкціях, як чотири докази вічності душі, розгляд ідеї як межі становлення. Математичні поняття “більше”, “менше”, “рівно”, “парність”, “антиномічність причин виникнення бінарності”, “вічність чисел” лежать в основі гносеологічних, натурфілософських та інших непрямих доказів безсмертя душі, уявлень про справжню землю і справжнє небо, твердженні про рідкість крайнощів. При цьому надаються визначення предмета музики, астрономії, арифметики, зароджуються уявлення про діалектико-кількісну структуру буття і пізнання, показується першопочаток математичних понять і наук. Цим й починає долатися метафізично-образна натурфілософія та містично-чисельна структуризація космосу вчень філософів до Платона.

Завершення розробки теорії ідей у “Державі” показує, що математичне знання починає виступати демонстративним обґрунтуванням найбільш важливих положень про зв’язок світу істинного та мінливого буття, сходження до безпередпосилкових основ, пропорційного співвідношення родів пізнання і т. ін.

На першому етапі зрілої творчості Платон найбільш плідно обґрунтовує математичними твердженнями та міркуваннями центральні тези, що зачепають діалектичні методології, навчання та виховання правителів ідеальної держави.

У другій групі діалогів Платона, що належать до розквіту його творчості - “Теєтет”, “Софіст”, “Політик” та “Парменід” - розробляються філософські питання математики з точки зору символічного й діалектичного осмислення буття та пізнання. Діалектика одного та іншого, критика гносеології сенсуалізму й софістики дозволяють Платону глибоко розкрити синкретизм філософії і математики при вирішенні надзвичайно глибоких метафізичних і діалектичних проблем. Гносеологічні мотиви діалектики буття й небуття як умови для розрізнення істини та софістичної неправди спираються на поняття єдності, множини, числа, кількісної певності, множинного числа тощо, пов’язані з математикою. Інтеграція феноменологічного підґрунтя основ філософії й математики у “Політиці” проявляється в тому, що розподіл знань на практичні й пізнавальні ґрунтується на класифікації математичних наук як прикладних та чистих, теоретичних, логічному законі виключеного третього, математичному доказі від противного тощо.

Математична основа діалектики буття, викладена у “Парменіді”, виступає в означеннях граничного, кола, прямої, які лежать в основі негативних дефініцій єдиного. Математичні положення про нерівність, зв’язок величин, чисельність мір детермінують дослідження відносного та абсолютного несприйняття єдиного з висновками для одного.

Третя група діалогів зрілої творчості Платона (“Філеб”, “Тімей”) є вершиною філософії математики Платона. Математична основа онтології виступає в арифметично пропорційному устрої космосу, геометричному конструюванні стихіями-образами, математичними законами часу і т. ін. Математичний фундамент діалектичної методології перебуває в кількісній визначеності, певному змішуванні граничного та безмежного, відношенні єдиного і множинного, міри числа, діалектико-кількісної структуризації пізнання і буття.

Інтеграція основ філософії і математики завершується у пізній творчості Платона (“Закони”, “Післязаконня” та “Лист VII”). Тут досягає максимуму вплив піфагоризму, особливо в розумінні вищої мудрості як числової, верховного розуміння як математичного. Переплетення етичних, естетичних, гносеологічних, онтологічних і математичних аспектів в останній період творчості Платона досягає найбільшої напруги. Всезагальність математичного знання проявляється в трактуванні афективних станів душі, плануванні виробництва і розподілу продуктів харчування, точній кількісній оцінці розмірів полісу, військових загонів тощо. Навчання арифметиці та іншим математичним наукам пов’язане із залученням людини до божественного устрою космосу, яке відкривається в астрономії як в релігійній науці благочестя. Опанування благочестя, що відбувається по ступенях ієрархії математичних наук і завершується астрономією як теологією, приводить до методології пізнання шляхом зіставлення часткового і загального, індивідуального і видового, що знаходить відображення у закономірностях руху небесних сфер.

Зіставлення філософського та математичного пізнання у “Листі VII” резюмує гносеологічні аспекти філософського поняття математичного знання як ступеня в діалектичному осягненні істинного буття.

Простежена еволюція історичних засад філософії математики Платона дозволяє сказати, що математика є феноменологічним підґрунтям філософствування Платона на будь-якому етапі його творчого розвитку. Переходячи до уточнення ролі математики в обґрунтуванні гносеологічних, онтологічних, діалектичних, методологічних та інших аспектів його вчення, треба зазначити, що заклик: “Не геометр - та не увійде!” - досить послідовно проводиться Платоном в усіх найбільш суттєвих положеннях його вчення.

Математичне знання як методологічний фундамент гносеології Платона відкривається у пропорційному поділі пізнавальних можливостей мислення (розум і глузд) та чутливості (віра й уподобання), теорії зорового сприйняття та розумового бачення, у критиці сенсуалістичної гносеології і т. ін. Відносно інших аспектів математичного обґрунтування онтології або методології було сказано раніше. Хотілося б зазначити, що геометричне конструювання фізичних основ, тілесних стихій викликано більше здивуванням, пов’язаним з відкриттям правильних багатогранників (платонівських тіл), ніж іманентними потребами космогенезу, тому що на правдоподібності цієї концепції Платон і не наполягає. Пропорційний устрій душі космосу, який створив деміург, більш демонструє знайомство з піфагорійською містикою чисел, співвідношенням геометричної, арифметичної та гармонічної прогресій, ніж необхідність саме такого підходу до синтезу тотожного й іншого. Кількісна визначеність змішування граничного і безмежного, відношення єдиного і множинного в діалектичній методології дослідження буття постульована, заявлена, але ніяк не застосована. Складається враження, що піфагорійсько-платонівська ідея числового містицизму, кількісної структуризації, математичної визначеності закономірностей устрою космосу, пізнання і буття залишається умоглядною та вербальною.

Зазначимо, що зрозуміти основоположення філософії Платона без математики неможливо, але необхідність та обґрунтованість існування математичного фундаменту діалектики, методології, натурфілософії і т. ін. викликає певні сумніви.

Математика задає Платону ідеал теоретичної діяльності, парадигму споглядального ставлення до дійсності, але при відсутності норм конкретної методології дослідження (що пов’язано не тільки з відсутністю розробленого математичного апарату, але й з відчуттям, внутрішньою інтуїтивною впевненістю в здоровому глузді математичного знання, тоді як дійсність ірраціональна, що її філософська рефлексія повинна мати на увазі). Теоретична математика, що виникає, отримує завершеність у “Началах” Евкліда, стає зразком не для простого імітування, а майже ритуального ставлення у піфагорійців і парадигмою діалектико-кількісного структуралізму в ейдетичній філософії. Платон уже не вірить у числову містику, але здивованість надихає його вважати математичну визначеність неопосередкованим та необхідним підходом до ейдетичного бачення розумової сфери істинного буття. Математичні науки зупиняють мінливе буття фізичних речей і процесів, формують стійкі форми та структури. Вони стають посередником між метафізичною методологією образного судження у бездоказової натурфілософії фізиків і пропедевтикою до способу осягнення безпередпосилкових основ у діалектичному сходженні.

Останній (третій) резюмуючий нотаток належить до термінологічного поняття виразу “філософія математики Платона”. Стає зрозумілим, що цим терміном називається, з одного боку, філософський аналіз математики і, з іншого, - математичне обґрунтування філософії.

Філософський аналіз математичного пізнання у Платона існує, але не є самоціллю, і проводиться певним чином при уточненні онтологічного статусу ейдосів, з’ясуванні методології діалектичного пізнання тощо. Визначення або опис числа самого по собі, ідеальної фігури, істинного кола надаються в ході з’ясування п’яти основних ступенів пізнання, космічних закономірностей і т. ін. Платон не може обійтись без прояснення природи математичних об’єктів, способів судження, використовуваних у математиці при систематичній розробці теорії ідей, створенні концепції ідеальної держави тощо.

Математичний фундамент філософії Платона, безперечно, виступає в обґрунтуванні безсмертя душі або геометричної демонстрації теорії спогадів, описі пропорційного устрою душі й тіла космосу. Це не просто приклади або ілюстрації. Платон шукає опору своїм об’єктивно ідеалістичним поглядам у строгому й точному, загальнозначущому й доказовому математичному пізнанні. Під усі основоположні конструкції онтології та естетики, гносеології та етики, методології та антропології, соціології і т. ін. афінянин підводить міцний та непорушний фундамент математичного знання як відкритого та відомого раніше.

Подвійна залежність - обґрунтування й аналізу, виправдання та узагальнення - саме і дозволяє говорити про філософію математики Платона, яка, звичайно, не відрефлексована і не конституйована дисциплінарно, але може бути тільки реконструйована подібно онтології, гносеології та іншим складовим частинам вчення Платона, що не подані у завершеному вигляді в жодному платонівському творі.

До дослідження теоретичних принципів так зрозумілої філософії математики Платона ми й переходимо після завершення історичної реконструкції її шляху у творчості основоположника ідеалізму.

Теоретичні принципи духовної творчості філософії математики Платона мають такий вигляд, що теоретична реконструкція принципових основ філософських питань математики у вченні Платона пов’язана з деякими труднощами. По-перше, загальновизнаний синкретизм античних знань має на увазі достатньо серйозні проблеми при вичленуванні онтологічного статусу, гносеологічної природи, методологічних особливостей, генетичних характеристик та предметної специфіки математичного знання в загальній світоглядній концепції Платона. По-друге, вбудованість філософії математики в естетичні, космогонічні, етичні, соціальні та інші аспекти вчення Платона запобігають однозначній інтерпретації теоретичних принципів як діалектичного аналізу математики, так і математичного обґрунтування філософії. По-третє, достатня невизначеність у поясненні онтологічних, гносеологічних, методологічних та інших сторін теоретичної філософії Платона робить проблематичною будь-яку реконструкцію регулятивних принципів його філософії математики. По-четверте, запропонована спроба претендує тільки на гіпотетичність, хоча й вважається правдоподібною, особливо якщо врахувати, що вона проведена з точки зору історії діалектики, тобто зовнішньої та змістовної сторони розгляду іманентних принципів філософії математики Платона.

Ейдетичне бачення природи математичних об’єктів у філософії математики Платона спирається на фундамент теорії ідей як таких, що породжують моделі буття та пізнання. Філософія Платона як синтез “традицій піфагорійської школи та вчення елеатів передвизначила в основних рисах тип математичних сутностей. Математичний універсум з часів Платона і до наших днів вбачається як такий, що складений з окремих монад. Існує вражаюча паралель між концепцією Платона і теорією множин, яка стверджує, що елементи множини надані до і незалежно від їх об’єднання, що визначеність цих елементів не залежить від того, чи належать вони одній і тій же множині, співвідносяться вони один з одним в рамках цієї множини, чи ні. Постулюючи множину - єдність безвідносних елементів, - дослідники, які працюють в області теорії множин, на відміну від Платона, не помічають несумісництва, внутрішньо притаманному цьому утворенню” [12; 13].

Що розуміє під математичними об’єктами Платон, які вони мають гносеологічний, онтологічний та інший статуси - і буде тепер предметом дослідження.

Ейдетичне бачення Платоном природи математичного знання лежить в основі виникнення та розвитку класичної математики. Світ істинного буття ідей складається з незалежних один від одного ейдосів буття, блага, краси, які у своїй єдності та визначеності є фундаментом існування та умозірного споглядання дійсності. Математичне пізнання і статус математичних об’єктів визначаються, по-перше, серединним положенням математичного знання між поглядом фізиків та розумінням діалектиків, по-друге, розподілом математики на істинну та уявну, по-третє, експлікацією іпостасей числа: знакову, образну та символічну.

Звернення Платона до вивчення природи і предмета, генези і статусу математики не є випадковим. “У пошуках опори для моралі, яка б не залежала від людських установ, Платон доходить до своєї теорії ідей. Тут Платон зіштовхується з математикою. Він доходить переконання, що заняття математикою є важливим етапом на шляху до пізнання вічних ідеальних істин” [11, с. 211].

Необхідність математики та поняття її серединно-проміжного статусу потребують від Платона багатостороннього обґрунтування її ейдологічного статусу. Різноманітність втілень принципу філософії математики в конкретні положення навряд чи може бути зведена до простого формулювання цього принципу. Тут слід погодитись з С. С. Аверінцевим: “Його розум був занадто захоплений духовними можливостями, що відкрилися йому з його вершини, кожна з яких вабила його, говорячи його ж словами, як дичина - мисливця, хоча усі разом вони, скоріше, виключали одна одну і, у всякому разі, заважали одна одній отримати кінцеву ”екзистенційну” серйозність. Можна, мабуть, стверджувати, що протиборствуючі стихії платонівської думки творять вищу єдність, вищу гармонію, але це недостатньо людська єдність, недостатньо людська гармонія [1]. Онтологізація арифметичних чисел, геометричних фігур та інших математичних об’єктів, яку проводить Платон, обумовили недостатньо органічну визначеність ейдетичного бачення природи математичного.

Діалектико-кількісна структуризація математичного пізнання і буття розкривається у філософії математики через, по-перше, застосування діалектико-кількісної визначеності самої дійсності та схеми її дослідження до ієрархії математичних сутностей і класифікації математичних наук; по-друге, віднесення пропорційного поділу здібностей душі до багатоаспектної та різнорівневої суперечності математичних об’єктів та серединного рівня невтаємниченості математичного знання.

Принцип діалектико-кількісної структуризації в філософії математики Платона базується на положенні онтології про те, що будь-яке буття речей, істини, добра являє собою єдність граничного та безмежного, єдиного і множинного, та установки гносеології, яка постулює зв’язок пізнання будь- якого конкретного об’єкта з кількісною визначеністю, що фіксує за допомогою числа єдність у множині.

Тут доповнюється ейдетичне бачення математичного числа у ході розкриття його онтологічної, гносеологічної та методологічної структури, що виявляє внутрішню багатогранне протиріччя числа, різноманітні рівні його сакральної невтаємниченості. Таке розуміння числа відносно будь-якого математичного об’єкта дозволяє уточнити ієрархію математичних сутностей, класифікацію математичних наук тощо.

Споглядальний статус і серединна предметність математичних основ обумовлені тим, що терміни “математичні сутності” або “предмети” Платон не застосовує. Вони з’являються тільки в Арістотеля. Для математичних об’єктів, як і для математичних наук, у нього ще немає загальної назви, ім’я, визначення. У цьому проявляється конкретно кількісний підхід Платона як при математичному конструюванні деміургом космосу та його душі, стихій у “Тимеї”, так і при діалектичному спогляданні природи арифметичних та геометричних об’єктів. Якщо під фізичними основами Платон розуміє вогонь, повітря, воду та землю, то під математичними основами мають на увазі числа та образи, фігури й трикутники, правильні багатогранники та небесні тіла, звуки й риси, які впорядковують хаос у космосі, споглядаються, предметно оформлені та серединні.

Споглядальний статус математичних знань у Платона обумовлений тим, що арифметика і обчислення прямують до істини. Однак це можливо не завжди, а якщо цими науками “займатися не абияк, а доти, поки не прийдуть за допомогою самого мислення до споглядання природи чисел” [10, с. 412], фігур, тіл і т. ін. Розсудково-математичне споглядання належить до бачення розумом, мисленням та неможливе у торгівлі й інших практичних справах. При цьому воно відрізняється і від вищого інтуїтивного розумового споглядання ідей блага, справедливості, істини, краси тощо.

Правильне математичне споглядання є теоретико-пізнавальним, епістемологічним, когнітивним. Воно необхідне для того, щоб “полегшити душі її сходження від становлення до істинного буття” [10, с. 345].

Серединна предметність математичних знань пов’язана з опосередкуванням ними фізичних думок відносно мінливого буття та діалектичних умозорів буття ідеального. Причому утилітарне використання математики неминуче. Але фізичне перечислення предметів або землеміряння відводять людську душу від смислової предметності числа до тілесної речовинності мінливих об’єктів, від незмінності знаків до мінливості речей.

Істинна арифметика або геометрія необхідні тому, хто філософствує “для осягнення сутності, кожен раз як він випливає зі сфери становлення, інакше йому ніколи не стати мислителем” [8].

Специфіка математичних об’єктів самих по собі у тому, що вони причетні до споглядання предметів ейдетичного буття. Математика тих, хто філософствує, відходячи від будь-якої арифметики будівельників, воєначальників, дозволяє вийти зі сфери, де панують думки та непорозуміння, у сферу істинного ідеального буття.

Розклад генези, класифікації і конкретних предметів математичних наук пов’язаний з тим, що походження математичних знань Платон розуміє неоднозначно. Він висуває декілька гіпотез відносно виникнення математичних наук, кожна з яких справедлива у якомусь особливому сенсі. Вкажемо основні положення, пов’язані з ґенезою мистецтва обчислення, геометрії і т. ін.: концепція спогадів математичного доказу теореми викладена у “Меноні”; про винахід Тевтом чисел, геометрії та астрономії йдеться у “Федрі”; походження найменувань математичних чисел із умовності та договору описується у “Кратілі”; генетична причетність парних чисел, парності розглядається у “Федоні”, а математичних основ буття - у “Парменіді”; безпосередність засадничих аксіом та визначень математики згадується у “Державі”; математичне знання як знання невідомої суми - у “Теєтеті”; гіпотетичне становлення чисельного ряду пропонується у “Парменіді”; як узгодженість і розмірність породжують число, досліджується у “Філебі”; як очі відкрили нам число, розповідається у “Тімеї”; ігрове навчання дітей лічбі розглядається у “Законах”; даність Богом знань про число постулюється у “Післязаконні”, але не як результат одкровення або натхнення, а як дарунок, який можна прийняти в результаті великої праці спостереження астрономічних явищ, розуміння яких можливе за допомогою мудрої теології. Навіть просте перерахування гіпотетичних положень Платона про виникнення математичних знань і засад говорить про серйозну увагу і значущість відповідей на ці питання.

Міркування про математичне виведення з першопочаткових основ базується на розумінні сутності математичної методології як зразка науковості. Предметом античного дослідження були елементи загальної методології пізнання, прийоми діалектичних суджень, форми силогічного доказу, засоби софістичного виведення і т. ін. Математичне пізнання та його прийоми, дії, докази аналізувались у ході вирішення конкретних проблем гносеології та метафізики. Математичні теореми й процедури доказу залучались у якості виправдання або ілюстрації окремих положень, що демонстративно пояснюють або обґрунтовують за аналогією певні фрагменти висновків.

Можна погодитись із твердженням про те, що “першими, хто взявся досліджувати методи і зробив їх предметом філософської рефлексії, були Сократ і Платон” [5].

Зазначимо, що античне бачення операції та прийомів математичного пізнання невіддільне від загальної методології дослідження в інших науках. Умоглядний синкретизм споглядання способів пізнання і творчості, засобів пізнання мистецтв і наук трансформується стосовно математики у причетність її до всього. Математичне для Давньої Греції - це те, що відоме раніше, очевидне саме по собі та загальновідоме. За допомогою цього самоочевидного, відомого усім вченим, можна пояснити нетрадиційну думку, пояснити доказове діалектичне положення. Загальновідоме усім для посвячених в аналізі не має потреби. Тому Платон і Арістотель філософствують та математизують у вченні про побудову космосу або силогістики, конструюванні діалектико-кількісної структури дослідження вічно сущого тощо.

У теоретичній філософії Платона можна експліцитно виділити діалектичну, математичну та фізичну (натурфілософську) методології пізнання. Пов’язане це з виокремленням, розрізненням теоретичного мислення та чуттєвого знання. Думка фізична менш чітка, ніж знання математичне, але ясніше від повного незнання. За її допомогою досягаються чуттєві речі, стихії і т. ін. Фізичне пізнання через аналогії або подібність пов’язані з уявленням речей або розумовими діями з чуттєвими образами, які ми сприймаємо шляхом віри як таких, що існують. Основи природи пізнаються гіпотетично за допомогою правдоподібного міфу в натурфілософських конструкціях космосу, богів, стихій. Відносне обґрунтування останніх можливе в рамках діалектико- кількісної структуризації буття та всесвіту через числові пропорції й геометричні образи, гармонійні відношення та інші математичні залежності.

Натурфілософській методології, що виробляє думки, протистоять розумово-математичні та розумово-діалектичні способи теоретичного споглядання розумом вічних і незмінних начал ейдетичного буття. Наукова методологія філософського дослідження, яка застосовується в геометрії та інших математичних науках, витягує пізнання зі світу чутливої невизначеності і підводить мудреця до сфери ідеальних сутностей, що досліджуються діалектикою. Основні прийоми й операції математичного пізнання використовуються при порівняльній характеристиці процедур гносеології, при правдоподібному зображенні творчого розуму деміурга в “Тімеї” і т. ін.

Розумово-діалектичний метод є головним у філософському вченні Платона. Істинне пізнання вищих метафізичних ідей істини, добра і краси відбувається за допомогою діалектичного методу, сенс якого полягає в тому, що філософ “робить спробу розмірковувати., обходячи відчуття, за допомогою одного лише розуму, прямує до сутності будь-якого предмета і не відступає, поки за допомогою самого мислення не осягне сутності блага” [10 с. 8]. Вільне сходження до першопочаткових основ, споглядання розумом неочікуваних першопричин, інтелектуальна інтуїція сутності речей, поетичне бачення ейдосів складають суть діалектичної методології Платона.

Діалектичний спосіб пізнання Платона закладає інтуїтивне вміння ставити запитання і надавати відповіді сократівської маєвтики. Діалектика, як розумово-теоретичне мислення, визначає принципи інших наук і “є методом чіткого поділу єдиного на множинне, - пише А.Ф. Лосєв, - зведення множинного до єдиного і структурне відтворення цілого як єдинороздільної множини” [3, с. 75].

Діалектика Платона у неявній формі має в собі інтуїцію і дедукцію, аналіз і синтез та інші методи наукового пізнання.

Підбиваючи підсумок, зазначимо, що концептуальна схема аналізу Платоном математичного пізнання як розумового виведення з першопочаткових основ характеризується такими особливостями. По-перше, серединно розумовим характером математичної методології. По-друге, розумінням способу математичного пізнання як переходу від аксіом, вихідних положень до судження та висновків, теорем. По-третє, процедури математичного пізнання уявляються дослідженням загальних положень в одиничних зображеннях та кресленнях.

Не були розглянуті докладно, хоча й згадувались раніше, такі особливості платонівського підходу до математичної методології, як діалектико-кількісна структуризація мислення пізнання і буття через єдність граничного та безмежного, єдиного та множинного; безумовність математичних прийомів і процедур; дослідницька невизначеність або суперечність як джерело пізнавальної активності, що доповнюють неузгодженість математичних висновків, серединних положень та вихідних засад, неспівмірність тощо.

Методологія математики як складова частина філософії математики Платона базується на теоретичних принципах і має дещо непослідовний характер. Справа у тому, що Платон декларує міркування і неприйнятність математичної методології при вирішенні натурфілософських проблем - тобто при виявленні причин виникнення предметів, витоків порядку космосу. Однак робить мислитель зовсім протилежне: будує геометричну концепцію стихій, пропорційно впорядковує тіло й душу космосу.

Умоглядність прийомів та дій конкретних математичних наук як уявлення Платона про операції і процедури, які застосовуються в арифметиці, геометрії та інших математичних дисциплінах, базуються, з одного боку, на використанні концептуальної схеми діалектичного аналізу методології і, з другого боку, на обґрунтуванні математичними конструкціями (пропорційними залежностями, способами арифметичного пізнання тощо) філософських суджень про співвідношення загального та одиничного знання, метафізичних концепцій безсмертя та істини, краси й блага.

Модель взаємодії філософії і математики у творчості Платона полягає у принципах та основоположеннях філософії математики (пригадування, кількісної редукції, розсудковості математичного знання). Крім того, історичних і теоретичних концептуальних схем філософської рефлексії математики, які фіксують природу і ґенезу, предмет і метод, статус та інші параметри і складаються з груп когнітивних особливостей діалектико- метафізичного осмислення елементарної математики як знання і пізнання.

Схеми й особливості діалектичного осмислення математики є формами і способами дослідження Платоном математичних понять і операцій, прийомів пізнання і т. ін.

Зробимо висновки. Взаємодія філософії і математики в духовному вимірі творчості Платона реалізується у концептуальній схемі історичного й теоретичного діалектичного аналізу математики, що містить принципи та особливості філософського осмислення математики античним мислителем Концептуальна схема як форма взаємодії філософії з математикою фіксує природу й генезис, предмет і метод, статус та інші параметри, групи особливостей діалектичної рефлексії математики Платоном [6; 7].

Необхідність філософії математики Платона як форми духовної творчості полягає у тому, що міфопоетична вільність його творів потребує математичного обґрунтування філософських положень, і тому існує установка на раціонально- математичне виправдання або підведення фундаменту під природну діалектику образно-художнього, теологічного мислення великого афінянина. Але філософія математики являє собою не тільки основу та виправдання діалектико-кількісного світогляду. Насправді математична філософія являє собою джерело і таємницю всієї теоретичної конструкції Платона. На це вказує сам Арістокл у девізі Академії, який розгортається у схемі освіти філософів та володарів і отримує теологічну основу в уявленнях про те, що астрономія - вчення про благочестя, а Уранія - муза астрономії [10]. Раціоналізм математики філософствування Платон доповняє ірраціоналізмом філософії математики, метафізичних її розділів про невербальне бачення розумом ейдосу кола, ідеї числа, чотирикутника самого по собі, що можливе лише для небагатьох посвячених.

Загальновідома математика і математика тих, хто філософствує, - обумовлена здоровим глуздом, а не розумом або надрозумом, частина філософії математики - систематизована у “Елементах” та слугує істотно необхідним і неминучим уведенням до метафізичної діалектики. Термін “метафізична діалектика” - не обмовка, а свідома упевнена віра у те, що серед діалектичних побудов Платона мають місце високі погляди, вищі засади, що і називаються цим терміном. Крім того, у першій філософії Арістотеля “Метафізиці” - існують яскраво виражені діалектичні елементи (див. «Топіка»), які більшість дослідників не брали до уваги, але які можна назвати діалектичною метафізикою.

Математика тих, хто філософствує, стоїть на тому феноменологічному ґрунті, що математичні міркування показово-дискурсивні, дедуктивно сформовані, чуттєво зрозумілі та теоретично вірогідні, емпірічно доведені та інтуїтивно прозорі. І тому саме вони ведуть до істинного філософування, а не міркування, пов’язані з юридичною практикою, літературною діяльністю, природно-науковим дослідженням, що завжди певною мірою позалогічні і не дедуктивні, оскільки в них залишається місце не тільки інтуїції, але й хибним поглядам, домислам, софізмам.

Антична математика тому і являє собою один з найбільш видатних феноменів давньогрецького соціокультурного перевороту, що зберегла своє значення до нашого часу, що з неї найбільш ефективно виключені вірогідність та невизначеність, еліміновані гіпотетичність та інтуїтивність. Тут на власні очі можна побачити прогрес дедуктивних шляхів міркування, прагматизм незаперечних доказів, корисність формальних когнітивних структур мислення, дієвість дискурсивних міркувань, практичність суворих міркувань і т. ін. Це спостерігається не тільки інтуїтивно, інтелектуально, але й наочно в геометричних кресленнях, демонстративно в арифметичних розрахунках, практично в механічних приладах.

Наочність та демонстративність, чуттєве втілення та емпірична вірогідність більшості з математичних положень викликає захоплення піфагорійців і Платона, Демокрита і багатьох інших, які вважають їх основою будь-яких своїх математичних міркувань, природних пошуків істини, добра та краси. Математика починає розглядатись як фундамент духовної й матеріальної культури, взірець, основа та ідеал наукового знання, виходячи з якого можна побудувати теорію гармонії та астрономію, вдосконалити суспільні відносини та зрозуміти естетичні нормативи, встановити міру добра тощо. Без вивчення математики неможливо торгувати і воювати, поділити спадок і визначити межі земельних ділянок, час настання сонячного затемнення і причини доброзичливості долі.

Можливість практично застосувати математику, її наочність, безперечність висновків викликають бажання й необхідність зробити математику парадигмою для будь-якого теоретичного міркування (схоже відношення філософії до наук лідерів у подальшому розвитку людської думки буде зафіксоване стосовно механіки, фізики, біології та ін.).

Проте Платону зрозуміло, що існують знання більш високі, ніж математичні. Мають на увазі діалектичне мислення, розумове споглядання вищих основ. Але ж більш вірогідним, безперечним, демонстративним, доказовим є застосування математичних міркувань, арифметичних висновків, геометричних теорем, без яких і бути не може істинних, нетаємних положень.

Математичні знання - наріжний камінь, на якому відточується розум та мислення, взірець міркувань та розуміння. Хоча в концепції Платона має місце двоїстість: проголошується розсудливість математичного доведення, серединність математичних основ, передумовність геометричних висновків, а потім у ході власного філософствування з’являється “Тімей”, в якому, як і в “Післязаконні”, Бог - геометр, основи-стихії - правильні багатогранники і т. ін. Саме ці піфагорійські мотиви філософії математики Платона визначали приблизно до XVIII ст. напрями розвитку європейської математики.

Використана література

1. Аверинцев С.С. Два рождения европейского рационализма //Вопр. философии. - 1989. - № 3.

2. Бурбаки Н. Очерки по истории развития математики. - М., 1985. -197 с.

3.Лосев А.Ф. История античной эстетики. Софисты. Сократ. Платон. - М., 1969. - 586 с.

4. Лосев А.Ф. Эрос у Платона //Вопр. философии. - 1988. - № 12.

5. Луканин Р.К. Аналитический метод Платона и математика //Филос. науки. - 1983. - №3.

6. Панфилов В.А. Философия и математика Платона: Монография. - Днепропетровск, ДГУ, 1997. - 112 с.

7. Панфилов В.А. Взаимодействие философии и математики: генезис и структура. Автореф. дис... д-ра филос. наук. - К., 1992. - 56 с.

8. Панфилов В.А. Генезис диалектического осмысления математики. - Днепропетровск , 1991. - 170 с.

9. Платон. Собрание сочинений: В 4 т. Т. 1.- М., 1990. - 534 с.

10. Рожанский И.Д. Развитие естествознания в эпоху античности. - М., 1979.

11. Розов М.А. Способ бытия математических объектов //Метологические проблемы развития и применения математики: Сб. науч. тр. - М., 1985.

12. Смирнов Г.А. Опыт системной интерпретации античного наследия // Становление системных идей в науке и философии: Сб.тр. Вып.7. - М., 1980.

13. Уайтхед А. Избранные работы по философии. - М., 1990. - 396 с.