Наукова бібліотека України

Loading
Книга четвертая - О ТЕОРИИ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ (Глава І - VIII)
Серия "Классики науки" - Лаплас П. С. "Изложение системы мира"

Глава I О ПРИНЦИПЕ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Среди явлений, наблюдаемых в солнечной системе, эллиптическое движение планет и комет кажется наиболее пригодным, чтобы привести нас к общему закону сил, которые ими движут. Наблюдения показали нам, что площади, описываемые вокруг Солнца радиусами-векторами планет и комет, пропорциональны времени; а в предыдущей книге мы видели, что для этого нужно, чтобы сила, отклоняющая непрерывно каждое из этих тел от прямого пути, была направлена постоянно к началу радиусов-векторов, и, следовательно, стремление планет и комет к Солнцу является необходимым следствием пропорциональности площадей и времени, затраченному на описание их радиусами-векторами.

Чтобы определить закон этого стремления, предположим, что планеты движутся по круговым орбитам; это мало отличается от истины. Тогда квадраты их истинных скоростей пропорциональны квадратам радиусов этих орбит, разделенным на квадраты времени обращения. Но, гіо законам Кеплера, квадраты этих скоростей относятся между собой как кубы тех же радиусов. Поэтому квадраты скоростей обратно пропорциональны этим радиусам. Раньше мы видели, что центробежные силы многих тел, движущихся по окружностям, относятся между собой как квадраты скоростей, разделенные на радиусы описанных окружностей. Поэтому стремление планет к Солнцу обратно пропорционально квадратам радиусов их орбит, предполагаемых круговыми. Эта гипотеза, правда, не вполне строга, но, поскольку постоянное отношение квадратов времен обращения планет к кубам больших осей их орбит не зависит от эксцентриситета, естественно думать, что оно существует и в случае круговых орбит. Таким образом, закон, по которому тела притягиваются к Солнцу обратно пропорционально квадратам расстояний от него, ясно указывается этим отношением.

Аналогия заставляет нас считать, что этот закон, распространяющийся на все планеты, в равной степени имеет место и для одной и той же планеты на ее разных удалениях от Солнца. Ее эллиптическое движение не оставляет никаких сомнений в этом отношении. Для доказательства проследим это движение, начиная от выхода планеты из перигелия. В это время ее скорость максимальна, и она стремится удалиться от Солнца, преодолевая силу его тяготения; ее радиус-вектор увеличивается и образует с направлением ее движения тупые углы. Сила тяготения, направленная к Солнцу и разложенная по этому направлению, все более и более уменьшает скорость планеты, пока она не достигнет афелия. В этой точке радиус-вектор снова становится перпендикулярным к кривой, скорость минимальна, и, так как стремление удалиться от Солнца меньше, чем сила его притяжения, планета к нему приближается, описывая вторую половину своего эллипса. На этой части пути сила тяготения к Солнцу увеличивает ее скорость, в то время как раньше она ее уменьшала. Планета приходит в перигелий со своей первоыачальыой скоростью и начинает второе обращение, подобное первому. Поскольку в перигелии и в афелии кривизна эллипса одинакова, оскулирующие радиусы одинаковы, следовательно, и центробежные силы в этих двух точках относятся как квадраты скоростей. Так как секторы, описанные в одинаковые элементы времени, равны, скорости в перигелии и в афелии обратно пропорциональны соответствующим расстояниям планеты от Солнца. Поэтому квадраты этих скоростей обратно пропорциональны квадратам тех же расстояний, а так как в перигелии и в афелии центробежные силы в оскулирующих окружностях, очевидно, равны, силе тяготения планеты к Солнцу, эти силы тяготения обратно пропорциональны квадратам расстояний до этого светила.

Таким образом, теоремы Гюйгенса о центробежной силе были достаточны, чтобы узнать закон, описывающий стремление планет к Солнцу, так как очень вероятно, что закон, действительный для всех планет и подтверждающийся для каждой из них в перигелии и в афелии, распространяется на все точки планетных орбит и вообще на все расстояния от Солнца. Но чтобы установить его совершенно неопровержимым образом, было необходимо получить выражение силы, которая, будучи направленной в фокус эллипса, заставляла бы тело описывать эту кривую. Ньютон нашел, что, действительно, эта сила обратно пропорциональна квадрату радиуса-вектора. Надо было еще показать, что сила тяготения к Солнцу не изменяется от одной планеты к другой иначе, чем в зависимости от расстояния до этого светила. Этот великий геометр показал, что это следует из закона пропорциональности квадратов времен обращения кубам больших осей орбит. Если предположить, что все планеты находятся в покое на одинаковых расстояниях от Солнца и предоставлены силам тяготения, направленным к его центру, они бы опустились за равное время на равные расстояния. Этот результат следует распространить и на кометы, хотя большие оси их орбит и неизвестны, так как во второй книге было показано, что величины площадей, описанных их радиусами-векторами, подчинены действию закона пропорциональности квадратов времен их обращения кубам этих осей.

Анализ, который в своих обобщениях охватывает все, что может вытекать из данного закона, показывает нам, что не только эллипс, но и все конические сечения могут быть описаны под влиянием силы, удерживающей планеты на своих орбитах. Поэтому комета может двигаться по гиперболе. Но тогда она была бы видимой только один раз и после появления удалилась бы за пределы солнечной системы, а затем приблизилась бы к новым солнцам, чтобы снова удалиться от них, пробегая различные системы, рассеянные в необъятности небес. Имея в виду бесконечное разнообразие природы, весьма вероятно, что существуют и такие светила. Их появление должно быть очень редким, и мы гораздо чаще наблюдаем кометы, движущиеся по замкнутым орбитам и возвращающиеся через более или менее продолжительное время в области неба, близкие к Солнцу.

Спутники испытывают такое же стремление к этому огромному телу, как и планеты. Если бы Луна не была подвержена его действию, то вместо того чтобы описывать почти круговую орбиту вокруг Земли, он? скоро кончила бы тем, что покинула бы ее. И если бы этот спутник, а также и спутники Юпитера, не увлекались Солнцем, следуя тем же законам, что и планеты, в их движениях появились бы значительные неравенства, которых наблюдение не обнаруживает. Итак, планеты, спутники и кометы — все подчинены одному закону тяготения к этому светилу. Одновременно с тем, как спутники движутся вокруг своих планет, вся система планеты и ее спутников увлекается общим движением в пространстве и удерживается той же силой в своем движении вокруг Солнца. Таким образом, относительное движение планеты и ее спутников почти таково, как если бы планета находилась в покое и не испытывала никакого внешнего воздействия.

Итак, не прибегая к какой-либо гипотезе, а только через неизбежные следствия законов небесных движений, мы приходим к заключению, что центр Солнца является источником силы, которая, распространяясь безгранично в пространстве, уменьшается пропорционально квадрату расстояний и, в соответствии с этим законом, притягивает все тела. Каждый из законов Кеплера раскрывает нам свойства этой притягательной силы: закон площадей, пропорциональных времени, показывает нам, что она постоянно направлена к центру Солнца; эллиптическая форма планетных орбит доказывает, что эта сила уменьшается пропорционально квадрату расстояния; наконец, закон пропорциональности квадратов времен обращения кубам больших осей орбит показывает, что сила тяготения всех тел к Солнцу одинакова на равных расстояниях от него. Мы назовем эту силу тяготения солнечным притяжением, потому что, не зная ее причины, мы можем, прибегнув к приему, часто применяемому геометрами, предположить, что эта сила происходит от притягательной способности, заключенной в Солнце.

Погрешности, которым подвержены наблюдения, и небольшие отклонения планет от эллиптического движения оставляют некоторую неуверенность в результатах, извлеченных из законов этого движения; и можно было бы сомневаться в том, что солнечное притяжение действительно уменьшается в точности обратно пропорционально квадратам расстояний. Но как бы мало оно ни отклонялось от этого закона, это отличие было бы очень заметно в движениях перигелиев планетных орбит. Перигелий земной орбиты имел бы годичное движение, равное 200сс [64.//8], если бы степень расстояния, которому солнечная сила притяжения обратно пропорциональна, увеличилась только на 1/10000. Но это движение, согласно наблюдениям, равно всего лишь З6.сс4 [11/'8], и мы увидим в дальнейшем его причину. Закон обратной пропорциональности силы тяготения квадрату расстояния, по крайней мере, исключительно близок к истине, и его большая простота побуждает нас применять его, если наблюдения не потребуют от него отказаться. Конечно, не надо измерять простоту законов природы той легкостью, с которой мы их воспринимаем. Но, когда те из них, которые кажутся нам самыми простыми, вполне согласуются со всеми явлениями, мы имеем все основания рассматривать их как точные.

Притяжение спутников к центрам своих планет есть необходимый результат пропорциональности площадей, описанных их радиусами-векторами, затраченному на это времени, и закон уменьшения притяжения пропорционально квадратам расстояний доказывается эллиптичностью их орбит. Эта эллиптичность мало заметна в орбитах спутников Юпитера, Сатурна и Урана, что затрудняет определение закона, по которому уменьшаются силы притяжения, по движению каждого спутника в отдельности, но постоянное отношение квадратов времен их обращения к кубам больших осей их орбит убедительно указывает, что у каждого спутника сила притяжения к планете обратно пропорциональна квадрату расстояния до ее центра.

Это доказательство неприменимо для Земли, имеющей лишь одного спутника, но его можно заменить следующими соображениями.

Сила тяжести простирается до вершин самых высоких гор, и незначительность изменения, которое она при этом претерпевает, не позволяет сомневаться в том, что на гораздо больших высотах ее действие все еще будет ощутимо. Не естественно ли поэтому распространить его до Луны и полагать, что это светило удерживается на своей орбите тяготением к Земле, так же как планеты удерживаются на своих орбитах солнечным притяжением? В самом деле, эти две силы, по-видимому, одной природы: и та и другая проникают во внутренние части материи и, если их массы одинаковы, наделяют их одинаковыми скоростями. Мы уже видели, что сила солнечного притяжения действует одинаково на все тела, расположенные на равных расстояниях от Солнца, так же как земная сила тяготения заставляет их падать в пустоте с одинаковых высот с равными скоростями. Тело, с силой брошенное горизонтально с большой высоты, падает на Землю в отдалении, описав параболическую кривую. Если бы скорость его полета была около 7000 м в секунду и не погашалась сопротивлением атмосферы, оно не упало бы и продолжало обращаться как спутник вокруг Земли, так как его центробежная сила в этом случае была бы равна силе тяготения. Чтобы из этого тела сделать вторую Луну, достаточно поднять его на такую же высоту, как и это светило, и сообщить ему такое же движение полета.

Но завершает доказательство тождественности стремления Луны к Земле и силы тяжести то, что для получения этого стремления достаточно, чтобы сила земного притяжения уменьшалась, следуя общим законам сил тяготения небесных тел. Рассмотрим некоторые детали, соответствующие важности рассматриваемого предмета.

Сила, непрерывно отклоняющая Луну от касательной к ее орбите, заставляет ее пробегать за одну секунду расстояние, равное синусу-вер-зусу дуги, которую она описывает за это же время, поскольку этот синус представляет расстояние, на которое Луна в конце секунды удалилась от своего начального направления. Его можно определить по расстоянию Луны от Земли, которое лунный параллакс дает в долях земного радиуса. Но чтобы получить результат, независимый от неравенств лунного движения, надо за ее средний параллакс взять часть параллакса, независящую от этих неравенств и соответствующую большой полуоси лунного эллипса. Из совокупности большого числа наблюдений лунного параллакса Бюрг определил, что эта его часть равна 10 541сс [3415//] на параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3. Мы выбрали эту параллель, так как притяжение Земли в соответствующих точках ее поверхности, так же как и на расстоянии радиуса лунной орбиты, равно массе Земли, разделенной на квадрат расстояния до ее центра тяжести. Радиус, проведенный из любой точки этой параллели в центр тяжести Земли, равен 6 369 809 м. Отсюда легко заключить, что сила, притягивающая Луну к Земле, заставляет ее падать за одну секунду на 0.00101728 м. В дальнейшем мы увидим, что действие Солнца уменьшает лунное притяжение на 1/358 часть. Поэтому надо увеличить на 1/358 упомянутую выше высоту, чтобы сделать ее независимой от действия Солнца, и тогда она становится равной 0.00102012 м. Но Луна в своем относительном движении вокруг Земли подвержена действию силы, равной сумме масс Земли и Луны, разделенной на квадрат расстояния между ними. Таким образом, чтобы получить расстояние, при котором Луна упала бы за одну секунду под влиянием только одногс земного притяжения, надо умножить предыдущее расстояние на отношение массы Земли к сумме масс Земли и Луны. Из совокупности явлений, зависящих от действия Луны, мною было получено, что ее масса равна 1/75 массы Земли. Итак, умножив приведенное выше расстояние на 75/76, мы получим 0.0010067 м — высоту, с которой земное притяжение заставляет падать Луну за одну секунду.

Сравним это расстояние с тем, которое получается в результате наблюдения маятника. На рассматриваемой параллели высота, с которой сила тяжести заставляет падать тело за первую секунду, как было показано в XIV главе первой книги, равна 3.65631 м. Но на этой параллели притяжение Земли меньше силы тяжести на 2/3 центробежной силы, вызываемой вращением на экваторе, а эта сила составляет 1/288 силы тяжести. Поэтому полученное выше расстояние надо увеличить на 1/432 его часть, чтобы получить расстояние, зависящее только от действия Земли, которое на этой параллели равно массе этой планеты, разделенной на квадрат ее радиуса. Таким образом, величина этого расстояния будет 3.66477 м. На расстоянии до Луны оно должно быть уменьшено в отношении квадрата радиуса земного сфероида к квадрату расстояния до этого светила. Очевидно, что для этого достаточно умножить его на квадрат синуса лунного параллакса, равного 10 541сс [3415//]. В результате получим, что расстояние, на которое Луна должна падать за одну секунду вследствие притяжения Земли равно 0.00100464 м. Эта высота, полученная из опытов с маятником, чрезвычайно мало отличается от полученной из непосредственных наблюдений параллакса; и чтобы они совпали, приводившееся выше значение параллакса надо было бы изменить всего приблизительно на 2СС [О/'б]. Поскольку столь малое изменение лежит в пределах погрешностей наблюдений и элементов, использованных для вычислений, можно быть уверенным, что главная сила, удерживающая Луну на своей орбите, есть сила земного притяжения, ослабленная пропорционально квадрату расстояния. Таким образом, закон уменьшения силы тяготения, который для планет, имеющих несколько спутников, доказывается путем сравнения их расстояний и времен их обращения, для Луны доказывается сравнением ее движения с движением тел, бросаемых с поверхности Земли. Уже наблюдения маятников на вершинах гор указывали на уменьшение силы земного тяготения. Но из-за недостаточной высоты гор по сравнению с величиной земного радиуса, этих наблюдений было недостаточно для установления закона. Необходимо было иметь удаленное от нас светило, такое как Луна, чтобы действие этого закона сделалось очень заметным и убедило нас, что сила тяготения на Земле представляет только частный случай силы, распространенной по всей вселенной.

Каждое явление проливает новый свет на законы природы и их подтверждает. Так, сравнение опытов над силой тяжести с лунным движением ясно показывает нам, что при вычислении сил тяготения Солнца и планет за начало расстояний надо принимать их центры тяжести, так как ясно, что это имеет место в случае Земли, сила тяготения которой имеет ту же природу, что и силы тяготения Солнца и планет.

Глубокая аналогия позволяет нам распространить это притягивающее свойство и на планеты, не имеющие спутников. Сферичность, свойственная всем этим телам, ясно указывает, что их молекулы собраны вокруг их центров тяжести силой, которая на равных расстояниях одинаково увлекает их к этим центрам. Эта сила проявляется также в возмущениях, вносимых ею в движение планет. Но следующее соображение не оставляет никакого сомнения в ее существовании. Мы видели, что если бы планеты и кометы были расположены на одинаковых расстояниях от Солнца, их тяготение, направленное к этому светилу, было бы пропорционально их массам; а по всеобщему закону природы, действие равно и обратно противодействию. Таким образом, все эти тела действуют на Солнце и притягивают его соразмерно своим массам. Следовательно, они сами одарены силой притяжения, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадратам расстояний. По тому же принципу спутники, согласно тому же закону, притягивают к себе планеты и Солнце. Итак, это притягательное свойство оказываемся общим для всех небесных тел.

Оно не нарушает эллиптическое движение планет вокруг Солнца, если рассматривать только их взаимное действие. В самом деле, относительное движение системы тел не изменяется, если им сообщается общая скорость. Поэтому, приложив в обратном направлении к Солнцу и к планете движение первого из этих тел и испытываемое им действие со стороны второго, можно считать Солнце неподвижным. Но тогда планета будет притягиваться к нему силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния и прямо пропорциональной сумме их масс, и ее движение вокруг Солнца будет эллиптическим. Из подобного же рассуждения видно, что оно сохранит свою эллиптичность, если предположить, что система, состоящая из Солнца и планеты, уносится общим движением в пространство. Столь же ясно, что эллиптическое движение спутника не нарушается поступательным движением его планеты, а также не нарушалось бы воздействием Солнца, если бы это воздействие было в точности одинаково на планету и на спутник.

Однако воздействие планеты на Солнце влияет на продолжительность ее обращения, которое делается тем короче, чем эта планета больше, поэтому отношение куба большой оси орбиты к квадрату времени обращения пропорционально сумме масс Солнца и планеты. Но поскольку это отношение почти одинаково для всех планет, их массы должны быть очень малы по сравнению с массой Солнца, что в равной мере верно и для спутников, сравниваемых с их планетой. Это же подтверждается объемами рассматриваемых тел.

Притягивающая способность небесных тел свойственна не только их массе в целом, но присуща каждой из их молекул. Если бы Солнце действовало только на центр Земли, не притягивая каждую из ее частей, в океане происходили бы колебания, несравненно большие и очень отличные от наблюдаемых колебаний. Сила притяжения Земли к Солнцу, таким образом, есть результат сил тяготения всех молекул, которые, следовательно, притягивают Солнце сообразно своим массам. Впрочем, каждое тело на Земле тяготеет к ее центру с силой, пропорциональной его массе. Следовательно, оно действует на планету и притягивает ее в той же пропорции. Если бы это было не так и если бы какая-то часть Земли, какой бы маленькой мы ее не предполагали, не притягивала бы другую часть так же, как та притягивает ее, центр тяжести Земли перемещался бы в пространстве под действием тяжести, что совершенно неприемлемо.

Итак, сравнение небесных явлений с законом движения приводит нас к великому закону природы, который гласит:

все молекулы материи взаимно притягиваются пропорционально массам и обратно пропорционально квадратам расстояний.

В этом всемирном тяготении уже можно предугадать причину возмущений эллиптического движения. Так как планеты и кометы подвержены взаимным воздействиям, они должны немного отклоняться от законов этого движения, которому они бы точно следовали, если бы подчинялись только действию Солнца. Спутники, движение которых вокруг своих планет возмущается действием их взаимного притяжения и притяжением Солнца, подобным же образом отклоняются от этих законов. Мы видим еще, что молекулы каждого небесного тела, объединенные своим притяжением, должны образовывать почти сферическую массу, и равнодействующая их сил должна быть причиной всех явлений тяжести на поверхности этих тел. Точно так же видно, что вращательное движение небесных тел должно немного изменять их сферическую форму и сплющивать их у полюсов, причем тогда равнодействующая их взаимного влияния, проходя не точно через центр тяжести, должна производить движения их осей вращения, похожие на те, которые были обнаружены наблюдениями. Наконец, можно предугадать, что молекулы океана, неодинаково притягиваемые Солнцем и Луной, должны получать колебательное движение, подобное приливам и отливам в морях. Но необходимо вывести все эти явления из общего закона тяготения, чтобы придать ему всю ту достоверность, которой обладают физические истины.

Глава II О ВОЗМУЩЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ

Если бы планеты подчинялись только действию Солнца, они описывали бы вокруг него эллиптические орбиты. Но они влияют одна на другую, а также и на само Солнце. Из-за этих взаимных притяжений происходят возмущения в их эллиптических движениях, замеченные наблюдателями. Эти возмущения необходимо определить, чтобы составить точные таблицы планетных движений. Точное решение этой проблемы превосходит существующие в настоящее время возможности математического анализа, и мы вынуждены прибегать к приближениям. К счастью, малость масс планет по сравнению с массой Солнца, небольшие эксцентриситеты и взаимные наклоны большинства их орбит сильно облегчают эту задачу. Тем не менее она остается еще очень сложной, и необходим самый тонкий и трудный анализ, чтобы из бесконечного множества неравенств, испытываемых планетами, выделить те, которые более заметны, и определить их значения.

Возмущения эллиптического движения планет могут быть разделены на два очень различающихся класса. Одни из них действуют на элементы эллиптического движения и возрастают исключительно медленно. Их называют вековыми неравенствами. Другие зависят от расположения планет, либо относительно друг друга, либо относительно их узлов и перигелиев, и восстанавливаются всякий раз, когда эти расположения повторяются. Они были названы периодическими неравенствами, чтобы отличить их от вековых неравенств, также являющихся периодическими, но периоды которых гораздо длиннее и не зависят от взаимного расположения планет.

Самый простой способ анализа различных возмущений заключается том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся в согласии с законами эллиптического движения по эллипсу, элементы которого плавно изменяются, и одновременно представить себе, что настоящая планета колеблется вокруг этой воображаемой, по очень маленькой траектории, свойства которой зависят от ее периодических возмущений.

Рассмотрим сперва вековые неравенства, которые, действуя в течение веков, должны за длительное время изменять форму и положение всех планетных орбит. Самое важное из этих неравенств то, которое может повлиять на среднее движение планет. При сравнении между собой наблюдений, сделанных со времени возрождения астрономии, движение Юпитера оказалось более быстрым, а Сатурна более медленным, чем движения, полученные из сравнения этих же наблюдений с древними. ч Астрономы пришли к заключению, что первое из этих движений ускоряется, а второе замедляется от века к веку; и чтобы учесть эти изменения, они ввели в таблицы этих планет два вековых уравнения, возрастающих пропорционально квадратам времени: одно — прибавляемое к среднему движению Юпитера, а другое — вычитаемое из среднего движения Сатурна. Согласно Галлею, вековое ускорение Юпитера равно 106сс [34"] для первого столетия, начиная от 1700 г. Соответствующее уравнение Сатурна равно 256.сс94 [83/'25]. Естественным было искать причину во взаимном действии этих самых значительных в нашей системе планет. Эйлер, первый занявшийся изучением этого вопроса, получил вековое уравнение, одинаковое для обеих планет. Его надо было прибавлять к их средним движениям, что противоречило наблюдениям. Затем Лагранж получил более соответствующие наблюдениям результаты. Другие геометры нашли еще иные уравнения. Пораженный этими разногласиями, я снова исследовал этот вопрос, рассмотрев его с наибольшей тщательностью, и пришел к истинному аналитическому выражению векового движения планет. Подставив в него численные значения величин, относящихся к Юпитеру и Сатурну, я был удивлен, видя, что оно обращалось в нуль. Я догадывался, что это не является исключительной особенностью этих двух планет и что, если полученное мной выражение привести в возможно более простую форму, сведя его к наименьшему числу входящих в него различных величин с помощью существующих между ними зависимостей, все эти члены взаимно уничтожатся. Расчеты подтвердили эту догадку и показали, что, вообще, средние движения планет и их средние расстояния от Солнца неизменны, по крайней мере, если пренебречь четвертыми степенями эксцентриситетов и наклонностей орбит и квадратами возмущающих масс, что более чем достаточно для современных надобностей астрономии. Лагранж впоследствии подтвердил этот результат, показав с помощью очень красивого метода, что он сохраняет силу даже в отношении любых степеней и произведений эксцентриситетов и наклонностей, а Пуассон путем глубокого анализа показал, что этот вывод продолжает существовать, если распространить приближения на квадраты и произведения масс планет. Таким образом, изменения, наблюдаемые в средних движениях Юпитера и Сатурна, не зависят от их вековых неравенств.

Постоянство средних движений планет и больших осей их орбит представляет одно из самых замечательных явлений в мироздании. Все другие элементы планетных эллипсов изменчивы. Эти эллипсы незаметно приближаются или отдаляются от круговой формы, их наклон к неподвижной плоскости и к эклиптике увеличивается или уменьшается, их перигелии и узлы находятся в движении. Все эти изменения, вызванные взаимным действием планет, осуществляются так медленно, что в течение многих веков они почти пропорциональны времени. Наблюдения уже позволили их обнаружить: мы видели в первой книге, что перигелий земной орбиты в настоящее время имеет прямое годичное движение, равное 36сс [12"], и что вековое уменьшение наклонности этой орбиты к экватору равно 148сс [48"]. Эйлер первый объяснил причину этого уменьшения, вызываемого ныне всеми планетами, относительным расположением плоскостей их орбит. Изменения земной орбиты привели к совпадению солнечного перигея с весенним равноденствием в эпоху, к которой можно возвратиться путем анализа и которая, по моим расчетам, была за 4089 лет до нашей эры. Примечательно, что эта астрономическая эпоха приблизительно совпадает с той, к которой большинство хронологов относит сотворение мира.

Старинные наблюдения недостаточно точны, а современные слишком близки друг к другу, чтобы с точностью установить величину больших изменений в орбитах планет. Тем не менее их совокупность достаточна, чтобы доказать существование этих изменений и показать, что их ход именно таков, какой вытекает из закона всемирного тяготения. Поэтому посредством теории можно было бы опередить наблюдения и определить истинные значения вековых неравенств планет, если бы знать их массы; одним из наиболее надежных способов узнать их является наблюдение развития этих неравенств во времени. Тогда можно будет мысленно вернуться к последовательным изменениям, которые испытала планетная система; можно будет предвидеть те изменения, которые в будущие века предстанут перед наблюдателями, и геометр в своих формулах одним взглядом охватит все прошлые и будущие состояния этой системы.

Здесь возникает много интересных вопросов. Всегда ли были и будут планетные эллипсы близкими к окружностям? Не были ли некоторые из планет вначале кометами, орбиты которых потом постепенно приблизились к круговым под влиянием притяжения других планет? Не будет ли уменьшение наклонности эклиптики продолжаться до совпадения ее с экватором, что установило бы постоянное равенство дня и ночи на всей Земле? На эти вопросы анализ отвечает удовлетворительным образом. Мне удалось доказать, что каковы бы ни были массы планет, только из-за того, что все они движутся в одном направлении и по мало эксцентричным орбитам с малым наклоном по отношению друг к другу, их вековые неравенства должны быть периодическими и заключенными в узкие пределы, так что планетная система только колеблется около среднего состояния, от которого она отклоняется лишь на очень малую величину. Таким образом, эллипсы планет всегда были и будут почти круговыми, откуда следует, что ни одна планета не была вначале кометой, по крайней мере, если принимать во внимание лишь взаимодействие тел планетной системы. Эклиптика никогда не совпадет с экватором, и полный размах изменений ее наклонности не может превысить трех градусов.

Движения планетных орбит и звезд могут помешать астрономам, если они захотят сравнивать точные наблюдения, разделенные большими промежутками времени. Это затруднение уже дает о себе знать. Поэтому было бы интересно найти неизменную плоскость, или такую, которая сохраняла бы положение, параллельное самой себе. В конце предыдущей книги мы изложили простой способ для определения подобной плоскости при движении системы тел, подверженных только их взаимным воздействиям. Этот способ в применении к солнечной системе дает следующее правило:

«Если в некоторый момент на плоскости, проходящей через центр Солнца, провести из этого центра прямые к восходящим узлам планетных орбит на этой плоскости; если на этих прямых отложить от центра Солнца отрезки, представляющие тангенсы углов наклона орбиты к этой плоскости; если затем предположить, что на концах отложенных отрезков находятся массы, пропорциональные массам планет, умноженным, соответственно, на квадратные корни из параметров их орбит и на косинусы их наклонностей, и, наконец, определить центр тяжести этой новой системы масс, то прямая, проведенная из этой точки в центр Солнца, представит тангенс угла наклона неизменной плоскости над данной плоскостью, и продолжение прямой за эту точку, до пересечения с небом, отметит положение ее восходящего узла».

Каковы бы ни были изменения, внесенные чередой веков в планетные орбиты и в плоскость, к которой их относят, определенная нами но этим правилам плоскость сохранит всегда параллельное положение. Правда, ее положение зависит от масс планет. Но скоро они будут достаточно хорошо известны, чтобы с точностью его установить. Принимая для этих масс значения, которые мы приведем в следующей главе, находим, что долгота восходящего узла неизменной плоскости в начале XIX в. была равна 114.g7008 [103.°2307], а ее наклон к эклиптике в ту же эпоху составляет l.g7565 [1.°5808].

Мы не учитываем здесь кометы, которые все же должны оказывать влияние на положение этой неизменной плоскости, поскольку они входят в солнечную систему. Было бы легко принять их во внимание по тому же правилу, если бы их массы и элементы их орбит были известны. Но из-за недостатка наших знаний в этой области мы предполагаем их массы достаточно малыми, чтобы их действие на планетную систему было незаметно. Это представляется очень вероятным, так как теория взаимного притяжения планет оказывается достаточной, чтобы представить все неравенства, наблюдаемые в их движениях. Впрочем, если влияние комет сказывается с течением времени, оно должно изменять главным образом положение плоскости, которое мы считаем неизменным. Даже с этой, новой точки зрения рассмотрение этой плоскости будет полезным, если удастся узнать ее изменения, что представит большие трудности.

Теория вековых и периодических неравенств движения планет, основанная на теории всемирного тяготения, была подтверждена ее согласием со всеми древними и современными наблюдениями. Эти неравенства особенно заметны в теории Юпитера и Сатурна. Они представляются в таком сложном виде и продолжительность их периодов столь значительна, что понадобилось бы несколько веков, чтобы из одних наблюдений определить их законы; и в этом теория обогнала наблюдения.

Узнав о неизменности средних планетных движений, я заподозрил, что наблюдаемые изменения в движениях Юпитера и Сатурна происходят от действия комет. Лаланд заметил в движении Сатурна неправильности, казавшиеся независимыми от действия Юпитера. Он нашел, что возвращения Сатурна к точке весеннего равноденствия в прошлом веке происходили раньше, чем возвращения к осеннему равноденствию, хотя положения Юпитера и Сатурна как между собой, так и относительно их перигелиев были почти одинаковыми. Ламберт наблюдал еще, что среднее движение Сатурна, которое, если исходить из сравнения современных наблюдений с древними, казалось, замедляется от века к веку, напротив, ускорялось, если сравнивать между собой одни современные наблюдения, тогда как среднее движение Юпитера представляло обратное явление. Все это наводило на мысль, что изменения в движениях Юпитера и Сатурна происходили по причинам, не зависящим от действия этих планет. Но при дальнейшем размышлении ход наблюденных изменений в средних движениях этих двух планет показался мне так хорошо согласующимся с тем, который должен был следовать из их взаимного притяжения, что без дальнейших колебаний я отбросил гипотезу постороннего влияния.

Замечательный результат взаимного влияния планет заключается в том, что если принять во внимание лишь неравенства, имеющие очень длинные периоды, сумма отношений массы каждой планеты к большой оси еѳ орбиты, рассматриваемой как изменяющийся эллипс, всегда почти постоянна. Поскольку квадраты средних движений обратно пропорциональны кубам этих осей, из этого следует, что если движение Сатурна замедляется действием Юпитера, то движение Юпитера должно ускоряться влиянием Сатурна; это согласуется с наблюдениями. Я увидел также, что и отношение этих изменений совпадает с тем, что получалось из наблюдений. Если, подобно Галлею, для первого века, считая с 1700 г., отставание Сатурна положить равным 256.сс94 [83/'25], соответствующее ускорение Юпитера было бы 104,сс91 [33/'99], а Галлей из наблюдений получил 106.сс02 f34.//35]. Поэтому было очень вероятно,, что изменения, наблюденные в средних движениях Юпитера и Сатурна, создаются их взаимным притяжением, а так как достоверно известно, что это действие не может создать никакого постоянно возрастающего неравенства, так же как и периодического, но с периодом, независимым от взаимного расположения этих планет, и что оно создает только неравенства, зависящие от этого взаимного расположения, то было естественно думать, что в их теории существует значительное неравенство-такого рода с очень долгим периодом, порождающее эти изменения.

Такого рода неравенства, хотя и очень малые и почти незаметные в дифференциальных уравнениях, значительно увеличиваются при интегрировании и могут достичь большой величины в выражении, представляющем долготу планеты. Мне было легко обнаружить подобные неравенства в дифференциальных уравнениях движения Юпитера и Сатурна. Эти движения почти соизмеримы, и пятикратное движение Сатурна почти равно удвоенному движению Юпитера.

Отсюда я заключил, что члены, имеющие аргументом пятикратную среднюю долготу Сатурна без удвоенной средней долготы Юпитера, могут стать очень заметными при интегрировании, хотя они умножаются на кубы и произведения трех измерений эксцентриситетов и наклонностей орбит. В соответствии с этим я смотрел на эти члены как на очень возможную причину вариаций, наблюдаемых в средних движениях этих планет. Большая вероятность этой причины и важность вопроса побудили меня предпринять утомительные вычисления, необходимые для подтверждения моих предположений. Результат вычислений их полностью подтвердил и показал, что, во-первых, в теории Сатурна существует большое неравенство с максимумом в 8895.сс7 [2882//2] и с периодом в 929 лет, которое должно прибавляться к среднему движению этой планеты, и что, во-вторых, движение Юпитера подобным же образом подчинено соответствующему неравенству обратного знака почти с таким же периодом, доходящему до З662.сс4 [1186/'6]. Величины коэффициентов этих неравенств и их периоды не всегда одинаковы. Они участвуют в вековых вариациях элементов орбит, от которых они зависят. Я с особой тщательностью определил эти коэффициенты и их вековые уменьшения.

Этим двум большим неравенствам, ранее не известным, следует приписать видимое замедление Сатурна и видимое ускорение Юпитера. Явления эти достигли максимума около 1560 г. С этой эпохи средние видимые движения этих двух планет стали приближаться к истинным и были им равны в 1790 г. Вот почему Галлей, сравнив современные наблюдения с древними, нашел среднее движение Сатурна более медленным, а Юпитера более быстрым, чем при сравнении между собой современных наблюдений, а Ламберт, наоборот, исходя из современных наблюдений, получил ускорение в движении Сатурна и замедление Юпитера. Замечательно, что величина этих изменений, выведенная только из наблюдений Галлея и Ламберта, очень близка к той, которая получается из двух больших неравенств, о которых я говорил. Если бы астрономия возродилась на четыре с половиной века позже, наблюдения дали бы противоположный результат. Таким образом, средние движения, приписываемые астрономами какого-либо народа Юпитеру и Сатурну, могут указать нам эпоху, когда у этого народа возникла астрономия. Таким путем находим, что индийцы определили среднее движение этих планет в той части периода описанных неравенств, в которой видимое среднее движение Сатурна было самым медленным, а Юпитера самым быстрым. Две из таких эпох, из которых одна относится к 3102 г. до христианской эры, а другая — к 1491 г., удовлетворяют этим условиям.

Почти соизмеримое отношение движений Юпитера и Сатурна порождает еще другие, очень заметные неравенства. Самое значительное из ни;х проявляется в движении Сатурна. Оно смешалось бы с уравнением центра, если бы пятикратное движение этой планеты не оказалось в точности равным двукратному движению Юпитера. Главным образом в прошлом веке оно привело к более быстрому возвращению Сатурна к весеннему равноденствию, чем к осеннему. Вообще, когда я обнаружил эти неравенства и с большей точностью, чем это делалось раньше, определил те, которые уже вычислялись, я увидел, что все явления, наблюдаемые в движениях этих двух планет, сами собой укладываются в теорию. Прежде казалось, что они составляют исключения из закона всемирного тяготения, но теперь они стали одним из самых убедительных его доказательств. Такова была судьба этого блестящего открытия Ньютона, что каждая возникающая трудность оказывалась для него источником нового триумфа, что является наиболее верным признаком истинной системы природы. Формулы, к которым я пришел, чтобы представить движение Юпитера и Сатурна, удовлетворяют с замечательной точностью противостояниям этих двух планет, наблюденным самыми искусными астрономами с помощью лучших меридианных инструментов и самых больших квадрантов. Ошибка никогда не достигала 40сс [13"], а ведь не прошло и 20 лет с той поры, когда ошибки лучших таблиц, превышали иногда 4000сс [1300"]. С точностью самих наблюдений эти формулы представляют еще наблюдения Флемстида и арабов, а также наблюдения, упоминаемые Птолемеем. Высокая точность, с которой две самые большие планеты нашей системы подчинялись с самых отдаленных времен законам своего взаимного притяжения, доказывает устойчивость этой системы, поскольку Сатурн, притяжение которого Солнцем приблизительно в 100 раз меньше, чем притяжение тем же светилом Земли, со времен Гиппарха и до наших дней не испытал никакого заметного действия со стороны посторонних причин.30

Я не могу не сравнить здесь реальные эффекты отношения, существующего между средними движениями Юпитера и Сатурна, с теми, которые им приписывала астрономия. В силу этого отношения взаимные соединения этих двух планет происходят с интервалом около 20 лет. Но точка неба, где это случается, отступает приблизительно на одну треть зодиака, так что, если соединение случается в первой точке Овна, через 20 лет оно будет в знаке Стрельца, еще через 20 лет перейдет в знак Льва, а потом опять в знак Овна, но уже на расстоянии 10g [9°] от своего первоначального положения. Соединения будут происходить в этих трех знаках зодиака около 200 лет. Затем точка соединений подобным же образом за два следующих столетия пройдет знаки Тельца, Козерога и Девы, затратит еще 200 лет, чтобы пройти знаки Близнецов, Водолея и Весов и наконец в два следующих века пройдет знаки Рака, Рыб и Скорпиона, чтобы снова начать движение со знака Овна. Так образуется большой год, каждый сезон которого продолжается два века. Этим сезонам приписывали разную температуру, так же как и знакам, которые им соответствуют. Совокупность этих трех знаков называлась тригоном. Первый был тригоном огня, второй — земли, третий — воздуха и четвертый — воды. Можно себе представить, что астрология широко пользовалась этими тригонами, которые сам Кеплер с большими подробностями разъяснял во многих работах. Но примечательно, что здравая астрономия, заставив исчезнуть эти воображаемые влияния соотношений между средними движениями Юпитера и Сатурна, нашла в них источник больших возмущений планетной системы.

Планета Уран, хотя открыта недавно, уже обнаруживает неопровержимые признаки возмущений, испытываемых ею под воздействием Юпитера и Сатурна. Законы эллиптического движения не удовлетворяют в точности ее наблюденным положениям, и чтобы представить последние, надо учитывать эти возмущения. Их теория по замечательному совпадению помещает эту планету в 1769, 1756, 1690 гг. в те точки неба, в которых Лемонье, Майер и Флемстид определили положение трех слабых звезд, не обнаруживаемых в наши дни, что не оставляет сомнения в их идентичности с Ураном.

Недавно открытые малые планеты подвержены действию очень больших неравенств, которые прольют новый свет на теорию небесных притяжений и приведут к ее усовершенствованию. Но путем наблюдений еще не было возможности их выявить. Нет еще и трех веков, как Коперник, первый, ввел в астрономические таблицы движения планет вокруг Солнца. Около века спустя Кеплер ввел в них законы эллиптического движения, найденные им по наблюдениям Тихо Браге и приведшие Ньютона к открытию всемирного тяготения. После этих трех эпох, которые будут навеки памятными в истории науки, развитие анализа бесконечно малых позволило нам применить его к вычислению многочисленных неравенств в движениях планет, возникающих от их взаимного притяжения. Благодаря этому таблицы достигли неожиданной точности: ранее их ошибки доходили до нескольких минут, теперь же они уменьшились до немногих секунд; и, вероятно, их отклонения часто вызваны неизбежными погрешностями наблюдений.

Глава III О МАССАХ ПЛАНЕТ И О СИЛЕ ТЯЖЕСТИ НА ИХ ПОВЕРХНОСТИ

Так как отношение массы іпланеты к массе Солнца является главным элементом теории возмущений, которые эта планета производит, сравнение этой теории с большим числом очень точных наблюдений должно позволить нам узнать это отношение тем точнее, чем больше возмущения, причиной которых она является. Именно таким способом были определены массы Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна. Массы Юпитера и Сатурна, а также планет, имеющих спутников, могут быть определены еще следующим образом.

Из изложенных в предыдущей книге теорем о центробежной силе следует, что сила притяжения спутника к своей планете относится к притяжению Земли Солнцем, как радиус орбиты спутника, разделенный на квадрат звездного времени обращения, относится к среднему расстоянию Земли от Солнца, разделенному на квадрат звездного года. Чтобы привести эти силы тяготения к одному и тому же расстоянию от тел, которые их порождают, надо умножить их, соответственно, на квадраты радиусов орбит, описываемых под действием этих сил; и так как на одинаковых расстояниях массы пропорциональны притяжениям, масса планеты относится к массе Солнца как куб среднего радиуса орбиты спутника, разделенный на квадрат времени его звездного обращения, относится к кубу среднего расстояния Земли от Солнца, разделенному на квадрат звездного года. Этот результат предполагает, что можно пренебречь массой спут

ника относительно его планеты и массой планеты относительно массы Солнца; это можно сделать без заметной ошибки. Результат будет точнее, если вместо массы планеты подставить сумму масс планеты и спутника, а вместо массы Солнца — сумму масс Солнца и планеты, потому что сила, удерживающая тело на своей орбите вокруг притягивающего его тела, зависит от суммы обеих масс.

Применим полученный вывод к Юпитеру. Средний радиус орбиты четвертого спутника, который мы приводили во второй книге, если бы наблюдать его с расстояния, равного среднему расстоянию Земли от Солнца, был бы виден под углом в 7964.сс75 [2580.//58]. Радиус окружности содержит 636 619.сс8 [206 264.//8]. Следовательно, отношение средних радиусов орбиты четвертого спутника и Земли равно отношению этих двух чисел. Продолжительность звездного обращения четвертого спутника равна 16.6890 суток, а звездный год равен 365.2564 суток. Исходя из этих данных, находим, что масса Юпитера, если за единицу взять массу Солнца, равна 1/1067.09. Для большей точности надо уменьшить делитель этой дроби на одну единицу. Тогда получаем 1/1066.09.

Таким же образом я нашел, что масса Сатурна равна 1/3359.4, а масса Урана составляет 1/19504 массы Солнца.

Возмущения, испытываемые этими тремя большими планетами под влиянием их взаимного притяжения, дают способ с большой точностью получить значения их масс. Бувар, сравнив с моими формулами, приведенными в «Небесной механике», большое число особенно тщательно проанализированных наблюдений, построил новые, очень точные таблицы Юпитера, Сатурна и Урана. Для этой важной работы он составил условные уравнения, оставив в них в качестве неизвестных массы этих планет. Решив эти уравнения, он получил, соответственно, следующие величины масс: 1/1070.5; 1/3512; 1/17918.

Если учесть трудность измерения элонгаций спутников Сатурна и Урана и незнание нами эллиптичности орбит этих спутников, достойна удивления та малая разница, которая получилась между величинами, вычисленными исходя из этих элонгаций, и выведенными по возмущениям. Эти последние величины включают для каждой планеты как ее массу, так и массу ее спутников, к тому же для Сатурна надо прибавить еще массу кольца. Но все наводит на мысль, что масса планеты сильно превышает массы окружающих ее тел. Во всяком случае это несомненно для Юпитера и Земли. Применяя мой метод анализа вероятностей к условным уравнениям г-на Бувара, было найдено, что, с вероятностью в миллион против одного, значение массы Юпитера, которое получил Бувар, ошибочно не более чем на ±1/100 своей величины. Для массы Сатурна эта вероятность равна 11000 против единицы. Так как возмущения, производимые Ураном в движении Сатурна, незначительны, придется ждать большего числа наблюдений, чтобы получить его массу с той же вероятностью. Но при существующем состоянии наблюдений можно ставить 2500 против одного, что приведенная выше величина ошибочна не больше чем на свою четвертую часть.

Возмущения, испытываемые Землей из-за притяжения Венерой и Марсом, достаточно заметны, чтобы определить массы этих двух планет. Бурк-хардт, составивший великолепные солнечные таблицы, основанные на четырех тысячах наблюдений, получил массы этих планет, равными, соответственно, 1/405871 и 1/2546320.

Описанным ниже способом можно получить и массу Земли. Если за единицу взять ее среднее расстояние от Солнца, дуга, описываемая ею за секунду времени, будет равна отношению окружности к радиусу, деленному на число секунд в звездном году, или иа 36 525 636.1с [31 558 149.s6]. Разделив квадрат этой дуги на диаметр, получим для ее синуса-верзуса 1479 565/1020. Это та величина, на которую Земля падает за одну секунду на Солнце в силу своего относительного движения вокруг этого светила. В предыдущей главе мы видели, что на земной параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3, в результате притяжения Земли тела падают за одну секунду на 3.66477 м. Чтобы привести это притяжение к среднему расстоянию Земли от Солнца, его надо умножить па квадрат синуса солнечного параллакса и полученное произведение разделить на число метров, заключенных в этом расстоянии. Земной радиус на рассматриваемой нами параллели равен 6 369 809 м. Поэтому, разделив это число на синус солнечного параллакса, полагаемого равным 26.сс54 [8/'60], мы получим средний радиус земной орбиты, выраженный в метрах. Отсюда следует, что действие притяжения Земли на среднем расстоянии этой планеты от Солнца равно произведению дроби 3.66477/6369809 на куб синуса 26.сс54 [8."60], т. е. 4.16856/1020. Вычтя эту дробь из 1479565/1020, получим, что притяжение Солнца на таком же расстоянии равно 1 479 560.8/1020. Следовательно, отношение масс Солнца и Земли равно отношению чисел 1479 560.8 и 4.16856, откуда следует, что масса Земли равна 1/354936 массы Солнца.

Если параллакс Солнца немного отличается от предположенного нами, значение массы Земли должно измениться как куб этого параллакса по сравнению с кубом параллакса 26.сс54 [8."60].

Масса Меркурия была определена по его объему в предположении, что плотности этой планеты и Земли обратны их расстояниям до Солнца. Хотя эта гипотеза весьма ненадежна, но она довольно хорошо удовлетворяет относительным плотностям Земли, Юпитера и Сатурна. Со временем, когда будут лучше известны вековые изменения движений небеспых тел, все эти величины надо будет уточнить.

Массы планет при массе Солнца, принятой за единицу:

Плотности тел пропорциональны массам, деленным на объемы, а когда массы имеют приблизительно сферическую форму, их объемы относятся как кубы их радиусов. Поэтому плотности относятся как массы, деленные на кубы радиусов. Но для большей точности за радиус планеты падобрать радиус, соответствующий параллели, у которой квадрат синуса широты равен 1/3.

В первой книге мы видели, что полудиаметр Солнца виден со среднего расстояния Солнца от Земли под углом в 2966 сс [961"]. На таком же расстоянии земной радиус был бы виден под углом в 26.сс54 [8."60]. Отсюда легко заключить, что если за единицу взять среднюю плотность солпечного шара, средняя плотность Земли оказывается равной 3.9326. Эта величина независима от солнечного параллакса, так как и объем и масса Земли возрастают как кубы этого параллакса.

Экваториальный полудиаметр Юпитера, видимый на среднем расстоянии от Солнца, по точным измерениям Араго равен 56.сс702 [18."371]. Полуось, проходящая через полюса, равна 53.сс497 [17."333]. Поэтому радиус сфероида Юпитера, соответствующий параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3, был бы виден на таком же расстоянии под углом в 55.сс967 [18."133], а на среднем расстоянии от Земли до Солнца — под углом в 291.сс185 [94."344]. Отсюда легко заключить, что плотность Юпитера равна 0.99239.

Таким же способом можно определить плотности других планет, но ошибки измерений их видимых диаметров и оценки их масс еще создают большую неуверенность в результатах вычислений. Если предположить видимый диаметр Сатурна на среднем расстоянии от Солнца равным 50сс [16"], получим его плотность, равной 0.55, опять-таки принимая за единицу плотность Солнца.

Сравнивая относительные плотности Земли, Юпитера и Сатурна, видим, что они меньше у планет, более отдаленных от Солнца. Кеплер пришел к тому же выводу, руководствуясь идеями порядка и гармонии, и предположил, что плотности планет обратно пропорциональны корням квадратным из их расстояний. Но по тем же соображениям он считал, что Солпце — наиболее плотное из всех небесных светил, что, конечно, не так. Планета Уран, плотность которой кажется превосходящей плотность Сатурна, отклоняется от приведенного правила, но неуверенность в измерениях ее видимого диаметра и наибольших элонгаций ее спутников не позволяет дать окончательный ответ на этот вопрос.

Чтобы получить величину силы тяжести на поверхности Солнца и пла-пет, примем во внимание, что если бы Юпитер и Земля были в точности сферическими и не имели вращательного движения, силы тяжести на их экваторах были бы пропорциональны их массам, разделенным на квадраты их диаметров. На расстоянии, равном среднему расстоянию Земли от Солнца, полудиаметр Юпитера был бы виден под углом в 291.сс185 [94."344], а полудиаметр земного экватора — под углом в 26.сс54 [8."60]. Если за единицу взять вес тела на этом экваторе, вес этого же тела, перенесенного па экватор Юпитера, был бы 2.716. Но его нужно уменьшить приблизительно на 1/9, чтобы учесть центробежные силы, вызванные вращением этих планет. То же самое тело на экваторе Солнца весило бы 27.9. За первую секунду своего падения тела там пролетают 102 м.

Огромные расстояпия, отделяющие нас от этих больших тел, казалось, должны были навсегда скрыть от человеческого познания действие тяжести на их поверхности. Но последовательность истин приводит нас к результатам, которые представлялись недоступными, когда начало, от которого они зависят, было неизвестно. Благодаря открытию закона всемирного тяготения, стало возможным измерить силу тяжести па поверхности Солнца и планет.31

Глава IV О ВОЗМУЩЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ КОМЕТ

Влияние планет создает в движениях комет неравенства, заметные главным образом по промежуткам между их возвращениями к перигелию. Галлей, заметив, что элементы орбит комет, наблюденных в 1531, 1607 и 1682 гг., были почти одинаковыми, заключил из этого, что они принадлежали одной и той же комете, которая за промежуток в 151 год сделала два обращения. На самом деле период ее обращения был на 13 месяцев продолжительнее в интервале с 1531 по 1607 г., чем с 1607 по 1682 г. Но этот великий астроном не без основания подумал, что притяжение планет, и в особенности Юпитера и Сатурна, могло вызвать эту разницу. В соответствии с несколько неопределенной оценкой этого действия в течение следующего периода обращения он пришел к выводу, что оно должно будет замедлить следующее возвращение кометы, и установил его дату на конец 1758 или начало 1759 г. Это сообщение было очень важным само по себе и слишком тесно связано с теорией всемирного тяготения, которой геометры середины прошлого века усиленно занимались с целью расширить область ее приложения. Поэтому оно не могло не возбудить любопытство всех интересующихся успехами наук и, в особенности теорией, которая уже согласовывалась с большим числом явлений. Неуверенные во времени появления кометы астрономы искали ее начиная с 1757 г., и Клеро, одним из первых разрешивший задачу трех тел, приложил свое решение к поискам тех изменений, которые движение кометы испытывало под воздействием Юпитера и Сатурна. 14 ноября 1758 г. он доложил Академии наук, что время возвращения кометы к своему перигелию будет в этом обращении приблизительно на 618 суток длиннее, чем было в предыдущем, и поэтому комета пройдет перигелий около середины апреля 1759 г. В то же время он отметил, что некоторые небольшие величины, не принятые им во внимание в его приближениях, могут на месяц передвинуть вперед или назад эту дату. Он отметил еще, что «тело, проходящее по таким отдаленным районам и исчезающее из наших глаз на столь длинные промежутки времени, могло быть подвержено действию совершенно незнакомых нам сил, таких как влияние других комет или даже какой-либо планеты, всегда настолько удаленной от Солнца, что она никогда не сможет быть обнаружена». Этот геометр получил удовлетворение, увидев свое предсказание сбывшимся: комета прошла перигелий 12 марта 1759 г. — в пределах допускавшейся им ошибки в вычислениях. После новой ревизии своих расчетов, Клеро определил дату этого прохождения на 4 апреля и передвинул бы ее іта 24 марта, т. е. на дату, отстоящую всего на 12 суток от фактического момента наблюдения, если бы использовал значение массы Сатурна, приведенное в предыдущей главе. Эта разница покажется очень маленькой, если принять во внимание большое число пренебреженных им величин и возможное влияние планеты Уран, о существовании которой во времена Клеро было неизвестно.

Заметим, к чести прогресса человеческого разума, что на эту комету, которая в прошлом веке возбуждала живейший интерес среди астрономов и геометров, смотрели совсем иначе четырьмя ее обращениями раньше, в 1456 г. Длинный хвост, тянувшийся за ней, наводил ужас в Европе, уже подавленной быстрыми успехами турок, ниспровергнувших Византию, и папа Каликст повелел совершать публичные моления, в которых заклинали комету и турок. В это невежественное время люди были далеки от мысли, что природа всегда послушна неизменным законам. В зависимости от того, регулярно ли следовали одни за другими явления или без видимого порядка, их считали зависящими от конечных причин или от случая. А когда явления были необыкновенными и казались противоречащими естественному порядку вещей, их рассматривали как знак небесного гнева.

Страхи, вызываемые некогда появлением комет, сменились боязнью, что какая-нибудь из множества комет, пересекающих во всех направлениях планетную систему, разрушит Землю. Они с такой скоростью проводят мимо нас, что влияния их притяжения не следует бояться. Только столкнувшись с Землей, они могут причинить гибельные разрушения. Но это столкновение, хотя и возможно, очень маловероятно в интервале одного века. Для столкновения двух тел, столь малых в сравнении с необъятным пространством, в котором они движутся, нужно такое необыкновенное стечение обстоятельств, что не может возникнуть разумного опасения в этом отношении. Однако малая вероятность такой встречи, накапливаясь в течение многих лет, может сделаться очень большой. Легко представить себе действие такого удара о Землю. Ось вращения и вращательное движение Земли изменятся. Моря покинут свои прежние места и устремятся к новому экватору. Большая часть людей и животных потонут в этом всемирном потопе или погибнут от сильнейшего сотрясения, испытанного земным шаром. Какие-то виды живых существ погибнут целиком. Все сооружения, созданные деятельностью человека, разрушатся. Вот каковы бедствия, которые произвел бы удар кометы, если бы ее масса была сравнима с массой Земли. Мы видим из этого, почему Океан покрывал высокие горы, на которых он оставил неоспоримые следы своего присутствия. Мы видим, почему животные и растения юга могли существовать в северных странах, где находят их останки и следы. Наконец, становится объяснимым недолгий срок существования культурного мира, несомненные памятники которого не старше пяти тысячелетий. Человеческий род, сокращенный до небольшого числа индивидуумов и в самом жалком состоянии занятый в течение очень продолжительного времени единственной заботой — сохранением своего существования, должен был полностью потерять память о науках и искусствах, и когда успехи цивилизации вновь дали почувствовать в них нужду, пришлось начинать все сначала, как если бы люди заново заселили Землю.

Какова бы ни была причина, приписанная некоторыми философами этим явлениям, я повторяю, мы должны успокоиться насчет повторения такого страшного события во время короткого промежутка жизни, тем более, что, по-видимому, массы комет исключительно малы, и поэтому их удар может произвести только местные разрушения. Но человек так склонен к боязни, что мы видели в 1773 г., как после простого извещения о мемуаре Лаланда, где он перечислил те из наблюденных комет, которые могут ближе всего подойти к Земле, в Париже распространился сильнейший страх, передавшийся затем всей Франции. Вот в какой мере верно, что заблуждения, суеверия, напрасные страхи и все зло, являющееся следствием незнания, быстро возобновились бы, если бы потух светоч науки.

Наблюдения кометы, появившейся в 1770 г., привели астрономов к необыкновенному результату. После безуспешных попыток подчинить эти наблюдения законам параболического движения, до сих пор почти точно представлявшего движение комет, астрономы наконец поняли, что во время своего появления она описывала эллипс, в котором продолжительность ее обращения не превышала 6 лет. Лексель, впервые сделавший этот интересный вывод, удовлетворил таким образом всем наблюдениям этой кометы. Но такая короткая продолжительность могла быть принята только после неопровержимых доказательств, основанных на новых и углубленных исследованиях наблюдений кометы и положений звезд, к которым ее относили. Академия наук предложила премию за эти исследования, которую получил Буркхардт. Его исследования привели почти точно к результатам Лекселя, относительно которых теперь не должно оставаться никаких сомнений. Комета, имеющая такое быстрое обращение, должна была бы часто появляться. Однако она не наблюдалась ранее 1770 г., да и после него ее больше не видели. Чтобы объяснить это, Лексель заметил, что в 1767 и 1779 гг. эта комета очень близко приближалась к Юпитеру, сильное притяжение которого уменьшило в 1767 г. пери-гельное расстояние ее орбиты настолько, что она стала видима в 1770 г., тогда как раньше не была видна. Затем, в 1779 г., это расстояние вновь увеличилось, и комета навсегда сделалась невидимой. Но необходимо было доказать возможность этих двух воздействий притяжения Юпитера и показать, что элементы эллипса, описанного кометой, могли им удовлетворить. Я это сделал, подвергнув этот предмет анализу, благодаря которому предыдущее объяснение стало правдоподобным.

Из всех наблюденных комет эта больше всего приближалась к Земле, которая должна была бы испытать заметное воздействие, если бы масса этой кометы была сравнима с массой земного шара. Если предположить, что эти две массы одинаковы, действие кометы должно было бы увеличить продолжительность звездного года на 11612е [10033s]. Но, исходя из многочисленных сравнений наблюдений, сделанных Деламбром и Бурк-хардтом при составлении солнечных таблиц, мы вполне уверены, что с 1770 г. звездный год не прибавился даже на 3е [2.6s]. Поэтому масса кометы не превышает 1/5000 массы Земли и, если принять во внимание, что в 1767 и 1779 гг. это светило пересекло систему спутников Юпитера, не вызвав в ней ни малейших нарушений, можно заключить, что она даже еще меньше. Малость масс комет вообще подтверждается незаметностью их влияния на движение тел планетной системы. Эти движения представляются одним только действием тел этой системы с такой точностью, что небольшие отклонения наших лучших таблиц можно приписать одним лишь погрешностям приближений и ошибкам наблюдений. Но только очень точные наблюдения, выполняемые в течение нескольких веков и сравниваемые с теорией, могут осветить этот важный вопрос системы мира.

Глава V О ВОЗМУЩЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ

Луна одновременно притягивается и Солнцем и Землей. Ее движение вокруг Земли нарушается только разностью действия Солнца на эти два тела. Если бы Солнце находилось на бесконечно большом расстоянии, оно действовало бы на них одинаково по параллельным направлениям. Их относительное движение не было бы искажено этим действием, общим для них обоих. Но расстояние до Солнца, хотя и очень большое по сравнению с расстоянием до Луны, не может считаться бесконечным. Луна попеременно находится то ближе, то дальше от Солнца, чем Земля, и прямая, соединяющая ее центр с центром Солнца, составляет более или менее острые углы с радиусом-вектором Земли. Поэтому на Землю н на Луну Солнце действует неодинаково и в разных направлениях. От этого различия его действий в лунном движении должны появляться неравенства, зависящие от взаимного положения Солнца и Луны. В исследованиях этих неравенств заключается знаменитая задача трех тел, точное решение которой превосходит возможности математического анализа. Однако она может быть решена методом приближений благодаря близости Луны по сравнению с ее расстоянием до Солнца и малости ее массы по сравнению с массой Земли. Тем не менее необходим очень тонкий анализ, чтобы выделить все члены, имеющие заметное влияние. Наиболее важным пунктом этого анализа является рассмотрение этих членов, если поставлена задача улучшения лунных таблиц, что должно быть главной целью работы. Можно легко представить себе множество различных способов составления уравнений для решения проблемы трех тел. Но главная трудность заключается в том, чтобы в дифференциальных уравнениях распознать и точно определить те члены, которые, будучи сами по себе очень маленькими, достигают заметной величины при последовательных интегрированиях; это требует иаивыгоднейшего выбора координат, тщательного рассмотрения природы интегралов, хорошо проведенных приближений и тщательных вычислений, проверенных много раз. Я поставил своей задачей выполнить все эти условия в теории движения Луны, приведенной в моей «Небесной механике», и имел удовлетворение видеть, что мои результаты совпадают с теми, которые Мейсон и Бюрг получили путем сравнения почти 5000 наблюдений Брадлея и Маскелайна; эти наблюдения придали лунным таблицам точность, которую будет трудно превзойти, и именно ей география и главным образом мореходная астрономия обязаны своим прогрессом. Здесь следует сказать, что Майер по праву считается одним из величайших астрономов, которые когда-либо существовали. Он первый придал этим таблицам ту степень точности, которая необходима для этого важного дела. Мейсон и Бюрг сохранили приданную им форму таблиц. Они исправили коэффициенты предложенных им неравенств и прибавили еще несколько других неравенств, указанных в его теории. Кроме того, изобретением повторительного круга, значительно усовершенствованного Борда, Майер придал наблюдениям на море ту же точность, какую он внес в лунные таблицы. Наконец, Буркхардт усовершенствовал лунные таблицы, придав их аргументам более простую и удобную форму и определив их коэффициенты по всей совокупности современных наблюдений. Задачей моей теории было показать, что закон всемирного тяготения является единственным источником всех неравенств лунного движения, и затем воспользоваться этим законом для улучшения таблиц и для вывода некоторых важных элементов системы мира, таких как вековые уравнения Луны, ее параллакс, параллакс Солнца и сжатие Земли. К счастью, когда я занимался этими исследованиями, Бюрг, со своей стороны, работал над улучшением лунных таблиц. Мой анализ дал ему несколько новых, очень важных уравнений, и сравнение с большим числом наблюдений, которое он сделал, подтвердило их справедливость и пролило новый свет на элементы, о которых я только что говорил.

Движения узлов и перигея Луны — вот главные следствия возмущений, испытываемых этим светилом. Первое приближение дало геометрам сперва только половину второго из этих движений. Отсюда Клеро заключил, что закон притяжения не так прост, как это до сих пор считалось, и что он состоит из двух частей, из которых первая обратно пропорциональна квадрату расстояния и одна только действует на больших расстояниях, отделяющих планеты от Солнца, а другая возрастает в большем отношении при уменьшении расстояния и становится заметной на расстоянии Луны от Земли. Это заключение оспаривалось Бюф-фоном. Он основывался на том, что изначальные законы природы должны быть самыми простыми, они не могут зависеть более чем от одного модуля, и их выражение не может включать больше одного члена. Это соображение, несомненно, должно привести нас к тому, чтобы не усложнять закон притяжения иначе, как лишь при крайней надобности. Но незнание нами природы этой силы не позволяет уверенно говорить о простоте ее выражения. Как бы то ни было, метафизик был на этот раз ближе к истине, чем геометр, который сам обнаружил свою ошибку и сделал важное замечание, что при дальнейших приближениях закон тяготения дает движение лунного перигея, в точности совпадающее с наблюдениями. Впоследствии это было подтверждено всеми, кто занимался этим предметом. Движение, выведенное мной из моей теории, отличается от истинного не больше чем на 1/440 его часть. Что касается движения узлов, эта разность не превосходит 1/350 части.

Чтобы показать зависимость всех неравенств движения Луны от совместного действия Солнца и Земли на нашего спутника, необходим математический анализ. Однако, не прибегая к нему, можно объяснить причины возникновения годичного и векового лунных уравнений. Я тем охотнее остановлюсь на их описании, что при этом будет видно зарождение самых больших лунных неравенств, которые до сих пор оставались мало заметными, но по прошествии веков должны раскрыться наблюдателям.

Во время соединений с Солнцем Луна находится ближе к нему, чем Земля, и испытывает с его стороны более значительное влияние. При этом разность притяжения Солнцем этих двух тел стремится уменьшить притяжение Луны к Земле. Подобным же образом во время противостояний Луны и Солнца Луна более удалена от Солнца, чем Земля, и притягивается им слабее; поэтому разность солнечных притяжений опять стремится уменьшить притяжение Луны. В этих двух случаях указанное уменьшение почти одинаково и равно удвоенному произведению массы Солнца на частное от деления радиуса лунной орбиты на куб расстояния Солнца от Земли. В квадратурах действие Солнца на Луну, разложенное по направлению лунного радиуса-вектора, стремится увеличить притяжение Луны к Земле, но это увеличение равно лишь половине уменьшения притяжения, испытываемого Луной в сизигиях. Итак, в результате всех влияний Солнца на Луну в течение ее синодического обращения возникает средняя сила, направленная вдоль радиуса-вектора Луны, уменьшающая силу тяготения этого светила и равная половине произведения массы Солнца на частное от деления этого радиуса на куб расстояния от Солнца до Земли.

Чтобы получить отношение этого произведения к силе тяготения Луны, заметим, что эта сила, удерживающая ее на орбите, почти в точности равна сумме масс Земли и Луны, разделенной на квадрат расстояния между ними, и что сила, удерживающая на орбите Землю, близка к массе Солнца, деленной на квадрат его расстояния до Земли. В соответствии с теорией центростремительных сил, изложенной в третьей главе, эти две силы относятся как радиусы орбит Луны и Солнца, разделенные, соответственно, на квадраты периодов обращения этих светил. Отсюда следует, что упоминавшееся выше произведение относится к силе тяготения Луны как квадрат времени звездного обращения Луны относится к квадрату времени звездного обращения Земли. Поэтому вышеуказанное произведение почти точно равно 1/179 этого тяготения, которое средним влиянием Солнца уменьшается, таким образом, на 1/358 своей величины.

Вследствие этого уменьшения Луна удерживается на большем расстоянии от Земли, чем если бы она была предоставлена полному действию силы своего тяготения. Сектор, описанный ее радиусом-вектором вокруг Земли, не изменяется, так как производящая его сила направ-

лена по этому радиусу, но реальная скорость и угловое движение этого светила уменьшаются. Поэтому если удалить Луну настолько, что ее центробежная сила сравняется с ее силой тяготения, уменьшенной влиянием Солнца, а радиус-вектор станет описывать сектор, равный тому, который он описал бы за то же время без этого влияния, то этот радиус увеличится на 1/358, а угловое движение уменьшится на 1/179.

Эти величины изменяются обратно пропорционально кубам расстояний от Солнца до Земли. Когда Солнце находится в перигее, его влияние, увеличиваясь, растягивает лунную орбиту. Но по мере продвижения Солнца к своему апогею эта орбита сжимается. Таким образом, Луна описывает ряд эпициклоид, центры которых лежат на земной орбите и которые расширяются или сжимаются в зависимости от того, приближается ли Земля к Солнцу или удаляется от него. Отсюда в ее угловом движении возникает неравенство, похожее на уравнение центра Солнца, но с той лишь разницей, что оно замедляет это движение, когда движение Солнца увеличивается, и ускоряет, когда движение Солнца уменьшается. Таким образом, эти два уравнения имеют противоположные знаки. Угловое движение Солнца, как было показано в первой книге, обратно пропорционально квадрату его расстояния от Земли. Так как в перигее это расстояние на 1/60 меньше своей средней величины, угловое движение увеличивается на 1/30. А так как замедление лунного движения на 1/179, производимое Солнцем, пропорционально увеличению куба расстояния Солнца от Земли, это замедление увеличивается на 1/20. Поэтому возрастание этого замедления составляет 1/3580 часть лунного движения. Отсюда следует, что уравнение Солнца относится к годичному уравнению Луны, как 1/30 солнечного движения относится к 1/3580 лунного, что дает для ее годичного уравнения величину 2398сс [777"]. Согласно наблюдениям, оно приблизительно на 1/8 меньше. Эта разница зависит от некоторых величин, не учтенных при этом первом вычислении.

Причина, подобная той, которая порождает годичное уравнение, производит и вековое уравнение Луны. Галлей первым заметил это уравнение, которое подтвердили Дэнторн и Майер путем углубленного анализа наблюдений. Эти два ученых астронома выяснили, что одно и то же среднее движение Луны не может удовлетворить и современным наблюдениям, и затмениям, наблюденным халдеями и арабами. Они попробовали представить их, прибавляя к средним долготам этого спутника величину, пропорциональную квадрату числа веков до и после 1700 г. Согласно Дэнторну, для I в. эта величина равна З0.сс9 [Ю/'О]. Майер в своих первых таблицах Луны принял ее равной 21.сс6 [7/'0] и довел до 27.сс8 [9/'0] в последних. Наконец, Лаланд, проведя новое исследование этого вопроса, пришел к результату Дэнторна.

Арабские наблюдения, которые главным образом были использованы, — два солнечных и одно лунное затмения, наблюденные в Каире Ибн-Юнусом около конца I в., давно извлечены из находящейся в лейденской библиотеке рукописи этого астронома. Были сомнения в реаль

ности этих затмений, но сделанный Коссеном перевод той части этой ценной рукописи, которая заключает наблюдения, рассеял эти сомнения. Мало того, он познакомил нас еще с 25 затмениями, наблюдавшимися арабами и подтвердившими ускорение среднего движения Луны. Впрочем, чтобы его установить, достаточно сравнить современные наблюдения с наблюдениями греков и халдеев. В самом деле, с помощью большого числа наблюдений, сделанных за два последних века, Деламбр, Бувар и Бюрг определили современное значение векового движения. С точностью, которая оставляет лишь небольшую неуверенность, они нашли, что оно на 600 или 700 секунд больше, чем получаемое из сравнения современных наблюдений с древними. Следовательно, со времен халдеев лунное движение ускорилось; а так как наблюдения арабов, сделанные в отделяющем нас от халдеев интервале, подтверждают этот результат, невозможно подвергать его сомнению.

Но какова причина этого явления? Всемирное тяготение, которое позволило нам так хорошо познать многочисленные неравенства Луны, дает ли оно объяснение ее векового неравенства? Эти вопросы тем более интересно разрешить, поскольку, если это удастся, мы получим закон вековых вариаций движения Луны, так как чувствуется, что гипотеза об ускорении лунного движения, пропорциональном времени, принятая астрономами, является лишь приближением, и ее нельзя распространять на неограниченное время.

Этот вопрос очень интересовал геометров. Но их изыскания долго оставались бесплодными и не обнаружили ни в действии Солнца и планет на Луну, ни в сферичности этого спутника и Земли ничего такого, что могло бы заметно изменить ее среднее движение. Некоторые решились отвергнуть ее вековое движение. Другие для его объяснения прибегали к разным причинам, таким как влияние комет, сопротивление эфира и постепенность передачи силы тяжести. Между тем соответствие других небесных явлений с теорией всемирного тяготения настолько совершенно, что нельзя без сожаления видеть, как вековое уравнение Луны не подчиняется этой теории; это составляет единственное исключение из общего простого закона, открытие которого по величию и разнообразию объектов, которые он охватывает, делает такую честь человеческому уму. Такие размышления заставили меня решиться снова рассмотреть это явление, и после нескольких попыток я наконец пришел к открытию его причины.

Вековое уравнение Луны вызвано действием на нее Солнца в сочетании с вековыми вариациями эксцентриситета земной орбиты.

Чтобы составить себе правильное представление об этой причине, напомним, что элементы земной орбиты испытывают изменения под влиянием планет. Ее большая ось всегда остается неизменной, но эксцентриситет, наклон к неподвижной плоскости, положение ее узлов и перигелия непрерывно изменяются. Припомним еще, что действие Солнца на Луну на 1/179 уменьшает ее угловую скорость и что численный коэффициент этой скорости изменяется обратно пропорционально кубу расстояния Земли от Солнца. Приняв большую полуось земной орбиты за единицу и развертывая обратную третью степень расстояния от Земли до Солнца в ряд по синусам и косинусам среднего движения Земли и его кратным, находим, что этот ряд содержит член, равный утроенной половине квадрата эксцентриситета этой орбиты. Поэтому уменьшение угловой скорости Луны содержит произведение этого члена на 1/179 этой скорости. Это произведение смешалось бы со средней угловой скоростью Луны, если бы эксцентриситет земной орбиты был постоянен. Но его изменение, хотя и очень малое, с течением времени заметно влияет на лунное движение. Ясно, что оно ускоряет движение Луны, когда эксцентриситет уменьшается; это и имело место со времен древнейших наблюдений и до наших дней. Это ускорение изменится и перейдет в замедление, когда эксцентриситет, дойдя до своего минимума, перестанет уменьшаться и начнет увеличиваться.

В промежутке между 1750 и 1860 гг. квадрат эксцентриситета земной орбиты уменьшился на 0.00000140595, а соответствующее увеличение угловой скорости Луны было равно 0.0000000117821 этой скорости. Поскольку это увеличение действовало последовательно и пропорционально времени, его влияние на движение Луны было вдвое меньше, чем если бы в течение всего века оно было одинаковым и равным своему конечному значению. Поэтому для определения этого влияния, или векового уравнения Луны к концу одного века от 1801 г., надо умножить вековое движение Луны на половину очень малого ускорения ее угловой скорости. Так как в течение века движение Луны равно 5 347 405 406сс [1732 559 351//], получим это вековое уравнение равным З1.сс5017 [10"2066].

Пока уменьшение квадрата эксцентриситета земной орбиты можно будет считать пропорциональным времени, вековое уравнение Луны будет увеличиваться как квадрат времени. Поэтому для получения векового уравнения достаточно умножить З1.сс5017 [10."2066] на квадрат числа веков, протекших с момента, для которого производятся вычисления, до начала XIX в. Но я убедился, что, если обратиться к наблюдениям, член, пропорциональный третьей степени времени, при разложении в ряд векового уравнения Луны становится заметным. Для I в. этот член равен 0.сс057214 [0/'018537]. Его следует умножить на куб числа протекших веков, начиная от 1801 г., причем для предшествующих веков это произведение отрицательно.

Среднее влияние Солнца на Луну зависит еще от наклонности лунной орбиты к эклиптике, и можно было бы думать, что из-за изменений положення эклиптики в движении Луны должны возникать вековые неравенства, подобные тому, которое производит эксцентриситет земной орбиты. Но путем математического анализа я выяснил, что лунная орбита действием Солнца непрерывно возвращается к неизменному наклону относительно земной орбиты, поэтому в силу вековых вариаций наклонности эклиптики самые малые отклонения Луны подвержены тем же изменениям, что и подобные отклонения Солнца. Это постоянство наклонности лунной орбиты подтверждается всеми древними и современными наблюдениями. Эксцентриситет лунной орбиты и ее большая

ось подобным же образом испытывают лишь неощутимые изменения из-за вариаций эксцентриситета земной орбиты.

Совсем иначе обстоит дело с вариациями движения лунных узлов и перигея. Подвергнув эти вариации анализу, я нашел, что влияние членов, зависящих от квадрата возмущающей силы и, как мы видели, удваивающих среднее движение перигея, оказывает еще большее действие на вариации этого движения. Результат этого трудного анализа дал мне вековое уравнение, втрое большее векового уравнения среднего движения Луны и вычитаемое из средней долготы ее перигея, так что среднее движение перигея замедляется, когда ускоряется среднее движение Луны. Я нашел также в движении узлов лунной орбиты по истинной эклиптике вековое уравнение, прибавляемое к их средней долготе и равное 0.735 векового уравнения среднего движения. Таким образом, движение узлов замедляется, как и движение перигея, при возрастании движения Луны; и вековые уравнения этих трех движений постоянно относятся как числа 0.735, З, 1. Отсюда легко заключить, что три движения Луны относительно Солнца, ее перигея и ее узлов ускоряются и что их вековые уравнения относятся между собой как числа

Будущие века увеличат эти большие неравенства, которые со временем создадут изменения, равные, по меньшей мере, сороковой части окружности в вековом движении Луны и тринадцатой части окружности в вековом движении лунного перигея. Эти неравенства не всегда возрастают. Они периодические, так же как неравенства эксцентриситета земной орбиты, от которых они зависят, и восстанавливаются лишь через миллионы лет. С течением времени они должны изменить воображаемые периоды, охватывающие целые числа обращений Луны по отношению к ее узлам, к перигею и к Солнцу, периоды, заметно различающиеся в разных частях огромного периода векового уравнения. Лунно-солнечный период в 600 лет был точен в эпоху, вернуться к которой было бы легко путем анализа, если бы массы планет были точно известны. Но эти данные, столь желательные для совершенствования астрономических теорий, у нас еще отсутствуют. К счастью, Юпитер с хорошо известной массой является именно той планетой, которая больше всего влияет на вековое уравнение Луны, а значения масс других планет все же известны достаточно точно, чтобы не бояться значительной ошибки в численном выражении этого уравнения.

Уже древние наблюдения, несмотря на их несовершенство, подтверждают лунные неравенства, ход которых можно проследить как по наблюдениям, так и по астрономическим таблицам, сохранившимся до наших дней. Мы видели, что древние наблюдения затмений позволили заметить ускорение лунного движения раньше, чем теория тяготения объяснила его причину. Сопоставляя с этой теорией современные наблюдения, а также затмения, наблюдавшиеся арабами, греками и халдеями, мы находим между ними такое согласие, которое представляется изумительным, если принять во внимание несовершенство древних наблюдений и неуверенность, которая еще остается относительно изменений эксцеытриситета земной орбиты из-за неточного знания масс Венеры и Марса. Развитие вековых уравнений Луны будет одним из наиболее подходящих способов для определения этих масс.32

Было особенно интересно проверить теорию тяготения в отношении векового уравнения перигея лунной орбиты или аномалии, которая в четыре раза больше, чем вековое уравнение среднего движения. Ее открытие привело меня к заключению, что надо на 15—16е [8.1—8/6] уменьшить применяемое астрономами теперешнее вековое движение перигея, которое они нашли, сравнивая современные наблюдения с древними. В самом деле, не приняв во внимание его вековое уравнение, они должны были получить это движение слишком быстрым, так же как они приписали слишком медленное движение Луне, не учтя ее вековое уравнение. Бувар и Бюрг подтвердили это, определив современное значение векового движения лунного перигея из очень большого числа современных наблюдений. Кроме того, Бувар обнаружил то же движение по самым древним наблюдениям и по наблюдениям арабов с учетом своего векового уравнения, чем неоспоримым образом подтвердил его справедливость.

Средние движения и эпохи таблиц «Альмагеста» и арабов указывают с очевидностью на три вековых уравнения Луны. Таблицы Птолемея являются результатом огромных вычислений, сделанных им и Гиппархом. Труды Гиппарха до нас не дошли. Мы знаем только, по свидетельству Птолемея, что Гиппарх приложил все усилия к тому, чтобы выбрать самые выгодные затмения для получения элементов, которые он определял. После двух с половиной веков новых наблюдений Птолемей лишь слегка изменил эти элементы. Поэтому несомненно, что элементы, использованные им в своих таблицах, были определены по очень большому числу затмений, из которых он упомянул только те, которые казались ему наиболее соответствующими средним результатам, полученным им и Гиппархом. Затмения позволяют хорошо определять только среднее синодическое движение Луны и ее расстояния от узлов и перигея ее орбиты. Поэтому в таблицах, приведенных в «Альмагесте», можно полагаться только на эти элементы. Возвращаясь во времени к первой эпохе этих таблиц, с помощью движений, определенных по одним современным наблюдениям, мы не получаем средних расстояний Луны от узлов, от перигея и от Солнца, даваемых этими таблицами для той эпохи. Величины, которые следует прибавить к этим расстояниям, близки к определяемым вековыми уравнениями. Следовательно, элементы этих таблиц подтверждают существование этих уравнений и тех численных значений, которые я им приписал.

Тот факт, что движения Луны относительно ее перигея и Солнца в таблицах «Альмагеста» медленнее, чем в таблицах нашего времени, указывает на присутствие в этих движениях ускорений, подобных ускорениям, на которые указывают как поправки, внесенные Альбатением восемь веков спустя после Птолемея в элементы его таблиц, так и эпохи таблиц Ибн-Юнуса, составленных около 1000 г. по совокупности халдейских, греческих и арабских наблюдений.

Замечательно, что уменьшение эксцентриситета земной орбиты гораздо заметнее по движению Луны, чем само по себе. Это уменьшение, которое со времени самого древнего из известных нам затмений не изменило даже на 15е [8/1] уравнение центра Солнца, произвело изменение в 2s [1.°8] в долготе Луны и в 8g [7.°2] в ее средней аномалии. По наблюдениям Гиппарха и Птолемея его можно было только предполагать, наблюдения арабов указывали на него с большой вероятностью. Но сопоставление древних затмений с теорией тяготения не оставляет никакого сомнения по этому поводу. Это «отражение», если можно так выразиться, вековых изменений земной орбиты через движение Луны иод воздействием Солнца имеет место даже для периодических неравенств. Именно так уравнение центра земной орбиты вновь возникает в движении Луны, но с обратным знаком и уменьшенным приблизительно в 10 раз. Подобным же образом неравенство в движении Земли, вызванное действием Луны, воспроизводится в движении Луны ослабленным приблизительно в отношении 1 к 2. Наконец, действие Солнца, передавая на Луну неравенства, которые планеты вносят в движение Земли, делает это косвенное влияние планет на Луну более значительным, чем их непосредственное влияние на этот спутник.

Здесь мы видим пример того, как явления, раскрываясь, проливают свет на свои истинные причины. Когда было известно лишь ускорение среднего движения Луны, его можно было приписать сопротивлению эфира или последовательной передаче силы тяготения. Но математический анализ показывает нам, что эти две причины не могут произвести никаких заметных изменений в средних движениях лунных узлов и перигея. Одного этого было бы достаточно, чтобы исключить эти причины, даже тогда, когда истинная причина изменений, наблюденных в этих движениях, еще не была известна. Согласие теории с наблюдениями доказывает нам, что, если среднее движение Луны и изменено причинами, не относящимися к всемирному тяготению, то их влияние очень мало и до сих пор неощутимо.

Это согласие уверенно устанавливает постоянство длины суток, существенного элемента всех астрономических теорий. Если бы их продолжительность в настоящее время превышала на 1/100с [0.s00864] ту, что была во времена Гипііарха, длина теперешнего века оказалась бы больше, чем тогда, на 365.25 е [315.s58]. За такой промежуток времени Луна описывает дугу в 534.сс6 [173."2]. Поэтому теперешнее среднее годовое движение Луны оказалось бы увеличенным на эту же величину, что увеличило бы на 13.сс51 [4."38] ее вековое уравнение для первого века, считая от 1801 г., которое, как было указано, равно З1.сс5017 [10/'2066]. Наблюдения не позволяют предположить такое значительное увеличение, и поэтому можно быть уверенным, что со времен Гиппарха длина суток33 не изменилась даже на 1/100° [0.s00864].

Одно из наиболее важных уравнений лунной теории, зависящее от сжатия Земли, относится к движению Луны по широте. Это неравенство пропорционально синусу ее истинной долготы. Оно является результатом нутации лунной орбиты, производимой действием земного сфероида, и coll*

ответствует той нутации нашего экватора, которая вызывается действием Луны, так что одна из этих нутаций является противодействием другой. Если бы все молекулы Земли и Луны были связаны между собой несгибаемыми и невесомыми стержнями, вся эта система в целом находилась бы в равновесии вокруг центра тяжести Земли вследствие сил, произвол дящих эти две нутации, причем незначительность силы, движущей Луну, компенсировалась бы длиной рычага, к которому прилагалась бы эта сила. Это неравенство по широте может быть представлено, если вообразить, что плоскость лунной орбиты, вместо того, чтобы двигаться по эклиптике равномерно с постоянным наклоном, движется при таких же условиях по плоскости, немного наклоненной к эклиптике и постоянно проходящей через точки равноденствия между эклиптикой и экватором. Подобное явление воспроизводится в более заметном виде в движениях спутников Юпитера в силу значительного сжатия этой планеты. Таким образом, это неравенство уменьшает наклон лунной орбиты к эклиптике, когда ее восходящий узел совпадает с точкой весеннего равноденствия. Оно увеличивает этот наклон, когда узел совпадает с точкой осеннего равноденствия, что было в 1755 г. и слишком увеличило наклон, который Мейсон определил из наблюдений Брадлея, сделанных с 1750 по 1760 гг. В самом деле, Бюрг, определивший его из наблюдений, охвативших большой период времени, и принявший в расчет предыдущее неравенство, получил наклонность, меньшую на 11.сс5 [3,"7]. Этот астроном по моей просьбе любезно согласился определить коэффициент этого неравенства по очень большому числу наблюдений и нашел, что он равен —24.сс6914 [—8."0]. Буркхардт, использовав еще большее число наблюдений, пришел к тому же результату, по которому сжатие Земли равно 1/304.6.

Это сжатие можно определить еще с помощью неравенства лунного движения по долготе, которое зависит от долготы лунных узлов. Наблюдения указали на это Майеру, и Мейсон установил его величину в 23.сс765 [7."70]. Но так как оно не казалось вытекающим из теории тяготения, большинство астрономов игнорировали это неравенство. Однако эта теория показала мне, что его причина лежит в сжатии Земли. Бюрг и Буркхардт из большого числа наблюдений установили его величину в 20.сс987 [6."80], что соответствует сжатию 1/305.05, т. е. почти такому же, какое дает предыдущее неравенство движения по широте. Итак, по наблюдениям движений Луны усовершенствованная астрономия обнаружила эллиптичность Земли, шаровидность которой первые астрономы узнали по наблюдениям ее затмений.

Два предыдущих неравенства заслуживают всяческого внимания астрономов. Перед геодезическими измерениями они имеют то преимущество, что сжатие Земли они представляют способом, менее зависящим от неправильности ее фигуры. Если бы Земля была однородна, эти неравенства были бы значительно больше, чем следует из наблюдений, которые, следовательно, исключают эту однородность. Еще из этих наблюдений следует, что сила притяжения Луны к Земле складывается из притяжения всех молекул этой планеты, что доставляет новое доказательство того, что притягиваются все частицы материи.

Теория в сочетании с опытами над маятниками и градусными измерениями, как мы видели в первой книге, дает параллакс Луны, очень близкий к наблюдениям, так что можно было бы обратным путем из этих наблюдений определить размеры Земли.

Наконец, с помощью лунного уравнения по долготе, зависящего просто от углового расстояния Лупы от Солнца, можно точно определить солпеч-иый параллакс. Для этого я с особой тщательностью вычислил коэффициент этого уравнения и, приравняв его к коэффициенту Буркхардта и Бюрга, который они нашли из сравнения большой серии наблюдений, вывел средний солнечный параллакс, равный 26.сс58 [8."6], т. е. такой же, какой многие астрономы определили из последнего прохождения Венеры.*

Замечательно, что астроном, не выходя из своей обсерватории, а лишь сравнивая свои наблюдения с результатами математического анализа, смог точно определить размеры и сжатие Земли, а также ее расстояние от Солнца и Луны, т. е. те элементы, определение которых было плодом долгих и трудных путешествий по обоим полушариям Земли. Согласие результатов, полученных этими двумя методами, является одним из наиболее поразительных доказательств всемирного тяготения.

Наши лучшие лунные таблицы основаны на теории и на наблюдениях. Из теории они заимствуют аргументы неравенств, которые было бы очень трудно узнать из одних только наблюдений. В моем «Трактате о небесной механике» я определил коэффициенты этих аргументов с очень большим приближением. Но малая сходимость приближений и трудность выделения из огромного числа тех членов, даваемых анализом, которые при интегрировании могут достичь заметной величины, делает очень трудными поиски этих коэффициентов. Сама природа дает нам в собрании наблюдений результаты этих интегрирований, с таким трудом получаемых из анализа. Для их определения Буркхардт и Бюрг использовали многие тысячи наблюдений и таким путем придали высокую точность своим лунным таблицам. Желая изгнать всякий эмпиризм и предложить другим геометрам обсудить многие сложные вопросы теории, к которым я подошел первым, такие, например, как вековые уравнения движения Луны, я добился от Академии наук, чтобы она предложила темой работы по математике на премию 1820 г. составление на основании одной только теории лунных таблиц, столь же совершенных, какие были составлены путем совместного применения теории и наблюдений. Академией были награждены две работы. Автор одной из них, г-н Дамуазо, сопроводил ее таблицами, которые при сравнении с наблюдениями представили их с точностью наших лучших таблиц. Авторы обеих работ сходятся относительно периодических и вековых неравенств движения Луны. Их результаты пемпого отличаются от моего в определении векового уравнения среднего движения; но вместо чисел 1, 4, 0.265, которыми я представил отношения вековых уравнений движения Луны относительно Солнца, перигея лунной орбиты и ее узлов, они нашли числа 1, 4.6775, 0.391. Г-н Дамуазо jb своей работе дал второе из этих чисел очень близким к 4, но, пересмотрев свои вычисления с особой тщательностью, он пришел к результату г-д Плана и Карлини — авторов второй работы. Так как они очень далеко продвинули приближения, их числа, вероятно, предпочтительнее, чем определенные мной. К тому же эти приближения дали им движения перигея и узлов лунной орбиты, в точности совпадающие с наблюдениями.

Из изложенного неоспоримо следует, что закон всемирного тяготения является единственной причиной всех лунных неравенств; и если учесть большое число и величину этих неравенств и близость Луны к Земле, можно считать, что из всех небесных тел она больше всего подходит, чтобы утвердить этот великий закон природы и могущество математического анализа, этого чудесного инструмента, без которого человеческому уму было бы невозможно проникнуть в столь сложную теорию п который может быть применен как такой же надежный способ совершать открытия, как и сами наблюдения.

Некоторые приверженцы конечных причин воображали, что Луна была придана Земле, чтобы освещать ее в ночное время. В таком случае природа не достигла поставленной себе цели, потому что часто мы лишены одновременно и солнечного, и лунного света. Чтобы достичь этой цели, было бы достаточно первоначально поместить Луну в противостояние с Солнцем в самой плоскости эклиптики на расстоянии от Земли, равном 1/100 расстояния Земли от Солнца, и дать и Луне, и Земле параллельные скорости, пропорциональные их расстояниям от этого светила. Тогда Луна, непрерывно находясь в противостоянии с Солнцем, описывала бы вокруг него эллипс, подобный земному. Эти два светила следовали бы одно за другим по горизонту, и так как на этом расстоянии Луна не затмевалась бы, ее свет постоянно заменял бы свет Солнца.34

Другие философы, пораженные своеобразным мнением жителей Аркадии, считавших себя более древними, чем Луна, думали, что этот спутник был первоначально кометой, которая, пройдя слишком близко к Земле, была вынуждена под влиянием ее притяжения последовать за ней. Но восходя путем анализа к самым отдаленным временам, мы видим, что Луна все время движется по почти круговой орбите, как планета вокруг Солнца. Поэтому ни Луна, ни какой-либо спутник, пе были вначале кометами.

Так как тяжесть на поверхности Луны гораздо меньше, чем на поверхности Земли, и поскольку это светило не имеет атмосферы, которая могла бы оказать заметное сопротивление движению бросаемых тел, можно заключить, что тело, выброшенное с большой силой взрывом лунного вулкана, может достичь и перейти тот предел, где притяжение Земли начинает превосходить лунное притяжение. Для этого достаточно начальной скорости по вертикали в 2500 м в секунду. Тогда вместо того, чтобы снова упасть на Луну, это тело сделается спутником Земли и будет описывать вокруг нее более или менее вытянутую орбиту. Его начальный импульс может быть направлен таким образом, что оно непосредственно встретит земную атмосферу. Оно может также достичь ее лишь после нескольких или даже очень многих обращений, так как яспо, что действие Солнца, которое очепь заметно меняет расстояние Луны от

Земли, должно производить в радиусе-векторе спутника, движущегося по очень эксцентричной орбите, еще значительно большие изменения и со временем может изменить перигельное расстояние спутника так, что он проникнет в нашу атмосферу. Это тело, пересекая ее с большой скоростью, испытывало бы очень большое сопротивление и вскоре упало бы на Землю. Трения воздуха об его поверхность было бы достаточно, чтобы его воспламенить и заставить взорваться, если оно заключало в себе вещества, способные к этому, и тогда оно продемонстрировало бы нам все эффекты, являемые аэролитами. Если бы было хорошо доказано, что они не являются продуктом наших вулканов или атмосферы и что нужно искать их происхождение вне Земли, в небесном пространстве, высказанная выше гипотеза, которая к тому же объясняет тождество состава метеоритов одинаковостью их происхождения, была бы не лишена правдоподобия.

Глава VI О ВОЗМУЩЕНИЯХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА

Из всех спутников наиболее интересными после Луны являются спутники Юпитера. Наблюдение этих светил, первых из числа открытых на небе с помощью телескопа, не насчитывает и двух веков, а их затмения наблюдаются даже меньше чем полтора столетия. Но в этом коротком промежутке времени, благодаря быстроте своего обращения, они продемонстрировали нам все большие изменения, которые с исключительной медленностью время разворачивает в планетной системе, чьим подобием является система спутников. Неравенства, производимые их взаимным притяжением, мало отличаются от планетных и лунных, однако соотношения, существующие между средними движениями первых трех спутников, делают некоторые из этих неравенств весьма значительными, что имеет большое влияние на всю их теорию. Во второй кпиге мы видели, что эти движения находятся между собой почти в отношении одного к двум и что они подвержены значительным неравенствам с различными периодами, которые при затмениях сводятся к одному единственному периоду в 437.659 суток. В теории спутников эти неравенства предстают первыми, так как они первыми были замечены наблюдателями. Теория не только определяет эти неравенства, но также подтверждает то, на что уже раньше с большой вероятностью указывали наблюдения, а именно, что неравенство второго спутника является результатом двух неравенств, из которых одно возникает от действия первого спутника и изменяется как синус избытка долготы первого спутника над долготой второго, а другое, производимое действием третьего спутника, изменяется как синус удвоенного избытка долготы второго спутника над долготой третьего. Таким образом, второй спутник испытывает со стороны первого возмущение, подобное тому, которое он производит в третьем, а со стороны третьего сам испытывает возмущение, подобное тому, какое сам вызывает у первого. Эти два неравенства объединяются в одно вследствие соотношений, которые существуют между средними движениями и средними долготами трех первых спутников и согласно которым среднее движение первого спутника в сумме с удвоенным движением третьего равно утроенному движению второго, а средняя долгота первого спутника в сумме с удвоенной долготой третьего без утроенной долготы второго постоянно равна полуокружности. Но всегда ли будут существовать эти соотношения или они являются только приближениями? И два неравенства второго спутника, объединенные сегодня, не разделятся ли с тече-нивхЛі времени? Теория дает ответы на эти вопросы.

Приближение, с которым таблицы давали упоминавшиеся выше соотношения, побудило меня предположить, что эти соотношения являются совершенно точными, а небольшие отклонения от них возникают от неизбежных погрешностей. Было совершенно невероятно предположить, что первоначальное положение трех близких спутников и их взаимные расстояния, соответствующие этим соотношениям, возникли случайно. Но с большой вероятностью можно считать, что расположение имеет особые причины. Я искал эту причину во взаимодействии спутников. Углубленное рассмотрение этого взаимодействия показало мне, что именно благодаря ему эти соотношения стали точными. Отсюда я заключил, что если вновь определить их из анализа очень большого числа удаленных друг от друга наблюдений, средние долготы и средние движения трех первых спутников еще больше приблизятся к этим соотношениям, которым таблицы должны строго соответствовать. Я с удовлетворением убедился, что это следствие теории с замечательной точностью подтверждается изысканиями над спутниками Юпитера, проведенными Деламбром. Нет необходимости в том, чтобы рассматриваемые соотношения существовали с самого начала. Надо только, чтобы движения и долготы первых трех спутников не сильно отклонялись от них, и тогда взаимодействия этих спутников достаточно для того, чтобы установить и в строгости поддерживать эти соотношения. Однако небольшая разница между ними и первоначальными соотношениями создала неравенство произвольной величины, распределяющееся между тремя спутниками, которое я назвал либрацией. Две произвольные постоянные этого неравенства заменяют те произвольные величины, которые устраняются двумя предыдущими соотношениями из средних движений и из эпох средних долгот трех первых спутников, так как число произвольных постоянных, заключающихся в теории системы тел, должно быть в 6 раз больше числа этих тел. Так как анализ наблюдений не позволил обнаружить это неравенство, оно должно быть очень мало и даже неощутимо.

Рассматриваемые отношения будут существовать всегда, несмотря на то, что средние движения спутников подвержены вековым уравнениям, аналогичным уравнениям движения Луны. Они будут существовать даже в случае, если эти движения изменятся сопротивлением эфира,или другими причинами, влияние которых было бы заметно только с течением времени. Во всех этих случаях вековые уравнения этих движений согласуются между собой взаимодействием спутников так, что вековое уравнение первого в сумме с удвоенным вековым уравнением третьего равно утроен

ному вековому уравнению второго. Даже их неравенства, растущие чрезвычайно медленно, приближаются тем ближе к согласованию, чем длиннее их периоды. Эта либрация, приводящая движение трех первых спутников к взаимному согласованию по законам, которые мы сформулировали, распространяется и на их вращательные движения, если, как указывают наблюдения, эти движения равны их обращениям. В данном случае притяжение Юпитера поддерживает это неравенство, сообщая вращательным движениям такие же вековые уравнения, какие действуют на движение обращения. Итак, три первых спутника Юпитера образуют систему тел, связанных между собой неравенствами и приведенными выше соотношениями, которые будут непрерывно поддерживаться их взаимными действиями, по крайней мере, до тех пор, пока какая-либо внешняя причина внезапно не нарушит их движение и их взаимные положения. Такой причиной могла бы быть комета, которая, проходя через систему, подобно тому, как это, по-видимому, сделала первая комета 1770 г., ударила бы одно из этих тел. Весьма вероятно, что такие встречи уже случались в безмерности веков, протекших с начала существования планетной системы. Удара кометы, масса которой была бы равна только 1/100 000 массы Земли, было бы достаточно, чтобы сделать заметной либрацию спутников. Но так как это неравенство не было обнаружено несмотря на все старания, приложенные Деламбром, чтобы выделить его из наблюдений, мы должны заключить, что массы комет, которые могли встретиться с одним из трех спутников Юпитера, исключительно малы, что подтверждает уже сделанные нами замечания относительно малости кометных масс.

Если принять во внимание незначительность разности, существующей между пятикратным средним движением Сатурна и удвоенным средним движением Юпитера, видно, что небольшого изменения первоначальных средних расстояний между этими двумя планетами было бы достаточно, чтобы сделать ее равной нулю. Но это даже не было необходимо, так как взаимное притяжение двух планет уже сделало бы эту разность постоянно равной нулю в случае, если первоначально она ему не была равна, лишь бы только она заключалась в узких пределах, даваемых анализом: около 4/10 наблюденной разности. Чтобы ввести ее в эти пределы, достаточно было увеличить на 1/530 средпее расстояние Сатурна от Солнца и уменьшить на 1/1300 среднее расстояние Юпитера. Итак, требовалось очень немного, чтобы две самые большие планеты солнечной системы продемонстрировали явление, аналогичное феномену трех первых спутников Юпитера, но значительно усложненное из-за своего большого влияния на вековые изменения орбит этих планет.

Орбиты спутников испытывают изменения, подобные большим изменениям планетных орбит. Их движения также подчинены вековым уравнениям, подобным вековым уравнениям Луны. Развитие всех этих неравенств с течением времени доставит нам наиболее подходящие данные для определения масс спутников и сжатия Юпитера. Значительное влияние этого последнего элемента на движение узлов определяет его значение с такой же точностью, как и непосредственные измерения. По этому методу отношение малой оси Юпитера к диаметру его экватора получается равным 0.9368, что очень мало отличается от отношения 16 к 17, полученного как среднее из самых точных измерений сжатия этой планеты. Это согласие является еще новым доказательством того, что тяготение спутников к своей планете составляется из притяжения всех их молекул.

Один из самых любопытных результатов теории спутников Юпитера состоит в определении их масс, что из-за исключительной малости их размеров и невозможности измерить их диаметры казалось недоступным. Для этого я выбрал исходные данные, которые при современном состоянии астрономии показались мне наиболее подходящими, и думаю, что следующие выведенные мной величины весьма близки к истине.

Массы спутников Юпитера, масса которого принята за единицу:

Эти величины будут уточнены, когда с течением времени станут лучше известны вековые изменения орбит.

Каково бы ни было совершенство теории, астроному следует еще выполнить громадную работу, чтобы обратить аналитические формулы в таблицы. Эти формулы включают 31 неопределенную постоянную, именно, 24 произвольные постоянные 12 дифференциальных уравнений движения спутников, массы этих светил, сжатие Юпитера, наклонность его экватора и положение его узлов. Чтобы получить значение этих неизвестных, надо рассмотреть очень большое число затмепий каждого спутника и комбинировать их так, чтобы наилучшим способом определялось каждое неизвестное. Деламбр выполнил эту важную работу с величайшим успехом, и его таблицы, представляющие наблюдения с точностью самих наблюдений, дают возможность мореплавателю надежно и просто по наблюдениям затмений спутников, в осповном первого, получать на месте долготу пункта, где он пристал к берегу. Вот главные элементы теории каждого спутника, вытекающие из сделанных Деламбром сравнений моих формул с наблюдениями.

Орбита первого спутника движется равномерно, сохраняя пеизменпый наклон по отношению к неподвижной плоскости, постоянно проходящей между экватором и орбитой Юпитера через линию пересечения двух последних плоскостей, взаимный наклон которых по наблюдениям равен

3.g4352 [З.°0917]. Наклон этой неподвижной плоскости относительно экватора Юпитера по теории всего лишь 20 сс [6/'5] и, следовательно, неощутим. Также неощутим для наблюдений и наклон орбиты спутника к этой плоскости. Поэтому можно считать, что первый спутник движется в экваториальной плоскости Юпитера. Не был обнаружен и собственный эксцентриситет орбиты этого спутника, который лишь в малой степени зависит от эксцентриситетов третьего и четвертого спутников, так как из-за взаимодействия всех этих тел эксцентриситет, свойственный орбите каждого из них, распространяется на все другие, но в ослабленном виде в соответствии с их удаленностью. Единственное заметное неравенство этого спутника имеет аргументом удвоенный избыток средней долготы первого спутника над средней долготой второго. В возвращениях затмений оно производит неравенство в 437.659 суток. Это одно из тех неравенств, которые я использовал, чтобы получить массы спутников; так как это неравенство вызвано только влиянием второго спутника, оно определяет его массу с большой точностью.

Затмения первого спутника Юпитера позволили открыть поступательное движение света, которое позже лучше узнали по явлению аберрации. Мне казалось, что поскольку теория этого спутника теперь улучшена, а число наблюденных затмений стало очень большим, их новое рассмотрение должно было бы определить величину аберрации с еще большей точностью, чем непосредственные наблюдения. По моей просьбе Деламбр любезно согласился выполнить эту работу и получил значение полной аберрации, равное 62.сс5 [20."2] — величину, в точности совпадающую с найденной Брадлеем из своих наблюдений. Доставляет удовлетворение видеть такое прекрасное согласие результатов, полученных совершенно различными методами. Из этого согласия следует, что скорость света одинакова во всем пространстве, охваченном земной орбитой. В самом деле, скорость света, даваемая аберрацией, это — та, которая имеет место на окружности земной орбиты и, складываясь с движением Земли, производит это явление. Скорость света, выведенная по затмениям спутников Юпитера, определяется временем, затраченным светом на пересечение земной орбиты. Так как эти две скорости оказываются равными, то скорости света одинаковы по всему диаметру земной орбиты. Из данных о затмениях спутников Юпитера даже следует, что она неизменна и в пространстве, заключенном в орбите Юпитера, так как вследствие эксцентричности этой орбиты вариации ее радиусов-векторов заметно отражаются на затмениях спутников, а анализ этих затмепий показал, что этот эффект соответствует неизменной скорости света.

Если свет испускается светящимися телами, то равенство скорости их лучей требует, чтобы они излучались каждым телом с одинаковой силой и чтобы их движение не задерживалось заметно притяжением, испытываемым ими со стороны посторонних тел. Если считать, что свет представляет собой вибрации упругого флюида, неизменность его скорости требует, чтобы плотность этого флюида во всем пространстве планетной системы была пропорциональна его упругости. Но исключительная простота, с которой объясняется аберрация небесных светил и явление преломления света при переходе из одной среды в другую, если считать свет излучением светящихся тел, делает эту гипотезу, по крайней мере, очень вероятной.

Плоскость орбиты второго спутника движется равномерно с постоянным наклоном к неподвижной плоскости, проходящей неизменно между экватором и орбитой Юпитера, через линию их взаимного пересечения с паклоном к экватору, составляющим 201сс [65"]. Орбита спутника наклонена к его неподвижной плоскости на 5152сс [ІббЭ"], а ее узлы движутся по этой плоскости попятным тропическим движением с периодом в 29.9142 лет. Этот период послужил мне одной из исходных данных для определения масс спутников. Наблюдения не позволили определить собственный эксцентриситет орбиты этого спутника, но он немного влияет на эксцентриситеты третьего и четвертого спутников. Два главных неравенства второго спутника зависят от действия первого и третьего. Отношение, существующее между долготами первых трех спутников, навсегда объединяет эти два неравенства в одно, причем период ого в возвращении затмений равен 437.659 суток — величине, которая явилась третьей величиной, использованной мною для определения масс спутников.

Плоскость орбиты третьего спутника движется равномерно с неизменным наклоном к неподвижной плоскости, проходящей постоянно между экватором и орбитой Юпитера, через линию их взаимного пересечения и с наклоном к экватору, равным 931сс [302"]. Орбита спутника наклонена на 2284сс [740"] к его неподвижной плоскости, и ее узлы перемещаются по ней попятным тропическим движением с периодом 141.739 года. Астрономы предполагали, что орбиты трех первых спутников Юпитера движутся в самой плоскости экватора Юпитера. Но из затмений третьего спутника они находили немного меньшее наклонение орбиты планеты к этому экватору, чем из затмений двух других. Эта разница, причина которой была им неизвестна, происходит оттого, что орбиты спутников движутся с постоянным наклоном не к этому экватору, а к другим плоскостям, которые к нему наклонены тем более, чем дальше спутник отстоит от планеты. Как мы видели в предыдущей главе, Луна являет нам подобный же результат. Отсюда происходит неравенство лунного движения по широте, величина которого определяет сжатие Земли, может быть, точнее, чем градусные измерения по меридиану.

Эксцентриситет орбиты третьего спутника имеет особые аномалии, причину которых я узнал благодаря теории. Они зависят от двух различных уравнений центра. Одно, присущее этой орбите, относится к пс-рийовию, годичное звездное движение которого равно 29 010сс [9400"]. Другое, которое можно рассматривать как вытекающее из уравнения центра четвертого спутника, относится к перийовию этого последнего тела. Оно также представляло одну из величин, послуживших мне для определения масс. Сочетаясь, эти два уравнения дают одно переменное уравнение центра, относящееся к перийовию с неравномерным движением. Они совпадали и складывались в 1682 г., и тогда их сумма возросла до 2458сс [796"]. В 1777 г. они вычитались одно из другого, и их разность составляла лишь 949сс [307"]. Варгентин попробовал представить эти изменения с помощью двух уравнений центра. Но он не отнес одно из них к перийовию четвертого спутника, и наблюдения заставили его отказаться от, своей гипотезы; тогда он прибег к гипотезе одного переменного уравнения центра, изменения которого он определил из наблюдений. Это привело его почти к тем же результатам, на которые мы указывали.

Наконец, плоскость орбиты четвертого спутника движется равномерно, с постоянным наклоном к неподвижной плоскости, которая наклонена к экватору Юпитера на 4457сс [1444"] и которая проходит через линию узлов этого экватора между ним и орбитой планеты. Наклон орбиты спутника к его неподвижной плоскости равен 2772сс [898"], и ее узлы в этой плоскости имеют попятное тропическое движение с периодом в 531 год. В силу этого движения наклон орбиты четвертого спутника к орбите Юпитера непрерывно изменяется. Дойдя до своего минимума вблизи середины прошлого века, он был около 2.g7 [2.°4] и почти постоянен с 1680 по 1760 гг. В этом интервале узлы орбиты спутника на орбите Юпитера имели прямое годичное движение около 8е [4/3]. За это обстоятельство, выявленное наблюдениями, ухватились астрономы и долго с успехом использовали его для таблиц этого спутника. Оно является следствием теории, которая дает наклонность и движение узлов, весьма близкие к найденным астрономами из анализа наблюдений затмений. Но в последние годы наклонность орбиты получила очень заметное увеличение, закон которого было бы трудно найти, не прибегая к математическому анализу. Любопытно видеть, как из аналитических формул появляются странные явления, указанные наблюдениями, но которые, являясь результатом нескольких простых неравенств, слишком сложны, чтобы астрономы могли открыть их законы. Эксцентриситет орбиты четвертого спутника гораздо больше, чем у других орбит. Его перийовий имеет прямое годичное движение в 7959сс [2579"]. Это — пятая величина, использованная мной для вычисления масс.

Каждая орбита немного зависит от движения других. Постоянные плоскости, к которым мы их отнесли, не совсем неподвижны. Они очень медленно движутся вместе с экватором и орбитой Юпитера, всегда проходя через взаимное пересечение этих плоскостей и сохраняя по отношению к экватору Юпитера наклонности, хотя и изменяющиеся, но находящиеся в постоянном отношении между собой и с наклоном орбиты планеты к экватору.

Таковы главные результаты сравнения теории спутников Юпитера с многочисленными наблюдениями их затмений. Наблюдения появления и исчезновения теней спутников на диске Юпитера пролили бы много света па некоторые элементы этой теории. До сих пор астрономы пренебрегали наблюдениями такого рода, но, как мне кажется, они должны привлечь их внимание, так как, по-видимому, внутренние контакты теней должны определять момент соединения еще точнее, чем затмения. Теория спутников в настоящее время настолько продвинулась вперед, что недостающее ей может быть определено только очень точными наблюдениями. Поэтому становится необходимым испытать новые методы наблюдений или, но крайней мере, убедиться, что применяемые теперь заслуживают предпочтения.

Глава VII О СПУТНИКАХ САТУРНА И УРАНА

Исключительная трудность наблюдения спутников Сатурна делает их теорию такой несовершенной, что нам едва известны с некоторой степенью точности их обращения и средние расстояния до центра этой планеты. Поэтому до сих пор бесполезно рассматривать их возмущения. Но положение их орбит представляет явление, заслуживающее внимания геометров и астрономов.

Орбиты первых шести спутников кажутся находящимися в плоскости кольца, тогда как орбита седьмого заметно от него отклоняется. Естественно думать, что это зависит от влияния Сатурна, который вследствие своего сжатия удерживает первые шесть орбит и свои кольца в плоскости своего экватора. Воздействие Солнца стремится их отклонить. Но это отклонение, возрастающее очень быстро, приблизительно как пятая степень радиуса орбиты, становится ощутимым только для последнего спутника. Орбиты спутников Сатурна, как и орбиты спутников Юпитера, движутся в плоскостях, постоянно проходящих между экватором и орбитой планеты, через их взаимное пересечение, в плоскостях, тем более наклоненных к этому экватору, чем спутники более удалены от Сатурна. Это наклонение у последнего спутника значительно и, если основываться на имеющихся наблюдениях, близко к 24.g0 [21.°6]. Орбита спутника наклонена к этой плоскости под углом в 16.g96 [15.°26], и годичное движение ее узлов в этой плоскости равно 940сс [305"]. Но поскольку эти наблюдения очень ненадежны, приведенные данные являются лишь очень грубым приближением.35

Относительно спутников Урана мы знаем еще меньше. По наблюдениям Гершеля представляется, что они все движутся в одной плоскости, почти перпендикулярной плоскости орбиты планеты, что, очевидно, указывает на подобное же положение плоскости его экватора. Анализ показывает, что сжатие планеты, сочетаясь с действием спутников, может удерживать их орбиты очень близко к этой плоскости. Вот все, что можно сказать об этих светилах, которые из-за их удаленности и малости еще долго не будут поддаваться более подробным исследованиям.

Глава VIII О ФИГУРЕ ЗЕМЛИ И ПЛАНЕТ И О ЗАКОНЕ ТЯЖЕСТИ НА ИХ ПОВЕРХНОСТИ

В первой книге мы изложили то, что стало известно о фигуре Земли и планет из наблюдений. Сравним теперь эти данные с результатами, вытекающими из всемирного тяготения.

Сила тяготения к планетам складывается из притяжения всех их молекул. Если бы их массы были жидкими и не имели вращательного движения, их фигура, как п фигура всех их слоев, была бы сферической, причем слои, наиболее близкие к центру, были бы самыми плотными. Сила тяжести на их внешней поверхности и на любом расстоянии снаружи от нее была бы в точности такой, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в ее центре тяжести. Это — замечательное свойство, в силу которого Солнце, планеты, кометы и спутники действуют друг на друга почти так же, как материальные точки.

На больших расстояниях притяжение молекул тела любой формы, наиболее удаленных от притягиваемой точки и наиболее близких к ней, действует так, что полное притяжение оказывается почти таким же, как если бы все эти молекулы были собраны в их центре тяжести; если отношение размеров тела к его расстоянию от притягиваемой точки принять за очень малую величину первого порядка, то такой вывод будет точен до величин второго порядка. Но он является строгим для сферы, а для сфероида, немного от нее отличающегося, ошибка будет того же порядка, как произведение его эксцентриситета на квадрат отношения его радиуса к расстоянию до притягиваемой точки.

Свойство сферы притягивать так же, как если бы вся ее масса была сосредоточена в центре, способствует простоте движения небесных тел. Эта простота свойственна не только закону природы, но еще и закону притяжения, пропорционального простому расстоянию, и может быть присущей лишь законам, образованным сложением этих двух простых законов. Но из всех законов, сводящих силу тяготения на бесконечном расстоянии к нулю, закон природы является единственным, при котором сфера обладает упомянутым выше свойством.

По этому закону тело, помещенное внутрь сферического слоя, имеющего всюду одинаковую толщину, одинаково притягивается со всех сторон так, что оно остается в покое среди испытываемых им притяжений. То же самое имеет место внутри эллиптического слоя, у которого внутренняя и внешняя поверхности подобны и подобно расположены. Поэтому если предположить, что планеты представляют собой однородные сферы, сила тяжести внутри них будет уменьшаться как расстояние до центра, так как внешние относительно притягиваемого тела слои ничего не прибавляют к ее силе тяжести, которая, таким образом, порождается только притяжением сферы с радиусом, равным расстоянию этого тела от центра планеты. Это притяжение пропорционально массе сферы, разделенной на квадрат ее радиуса, а так как масса пропорциональна кубу этого радиуса, сила тяжести тела пропорциональна этому радиусу. Но вследствие того, что слои планеты, вероятно, имеют большую плотность по мере приближения к центру, сила тяжести в них уменьшается в меньшем отношении, чем в случае однородности слоев.

Вращение планет немного изменяет их сферическую форму. Центробежная сила, возникающая от этого вращения, расширяет их у экватора и сжимает у полюсов. Рассмотрим сперва влияние этого сжатия в самом простом случае, считая Землю однородной жидкой массой, а силу тяжести — направленной к ее центру и обратно пропорциональной квадрату расстояния от этой точки. Легко доказать, что в этом случае земной сфероид превращается в эллипсоид вращения, так как если

представить себе два жидких столба, соединяющихся в центре сфероида и оканчивающихся: один — на полюсе, а другой — в какой-либо точке его поверхности, ясно, что они должны взаимно уравновеситься. Центробежная сила не изменяет вес столба, направленного на полюс, но уменьшает вес другого столба. В центре Земли центробежная сила равна нулю. На поверхности она пропорциональна радиусу земной параллели, т. е. величине, близкой к косинусу широты. Но она не вся целиком расходуется для уменьшения силы тяжести. Направления этих двух сил составляют угол, равный широте, и центробежная сила, разложенная но направлению силы тяжести, ослабляется в отношении косинуса этого угла к радиусу. Таким образом, на какой-либо параллели поверхности Земли центробежная сила уменьшает силу тяжести на произведение экваториальной центробежной силы на квадрат косинуса широты. Поэтому средняя величина этого уменьшения в тяжести столба жидкости равна половипе этого произведения, а так как центробежная сила на экваторе равна 1/289 силы тяжести, эта величина равна 1/578 силы тяжести, умноженной на квадрат косинуса широты. Для равновесия необходимо, чтобы столб своей длиной компенсировал уменьшение своего веса. Поэтому он должен быть больше столба, идущего к полюсу, на 1/578 его величины, умноженной на квадрат того же косинуса. Таким образом, увеличение земных радиусов от полюса к экватору пропорционально этому квадрату, откуда легко заключить, что Земля в этом случае есть эллипсоид вращения, у которого полярная ось относится к экваториальной как 577 к 578.

Ясно, что равновесие жидкой массы продолжало бы существовать, если предположить, что часть ее отвердела, при условии, что сила тяжести остается без изменения.

Чтобы определить закон изменения силы тяжести на поверхности Земли, заметим, что сила тяжести в какой-либо точке этой поверхности меньше, чем на полюсе, из-за большего удаления от центра. Это уменьшение почти в точности равно удвоенному увеличению земного радиуса, и, следовательно, оно равно произведению 1/289 силы тяжести на квадрат косинуса широты. Центробежная сила еще уменьшает вес на такую же величину. Таким образом, из-за совместного действия этих двух причин уменьшение веса от полюса к экватору равно числу 0.00694, умноженному на квадрат косинуса широты, причем сила тяжести на экваторе принята здесь за единицу.

Мы видели в первой книге, что измерения градусов меридианов дают сжатие Земли большее, чем 1/578, а маятниковые измерения указывают на уменьшение тяжести от полюса к экватору, меньшее, чем 0.00694, и равное 0.0054. Следовательно, градусные измерения как и наблюдения маятников свидетельствуют о том, что сила тяжести направлена не в одну единственную точку, что подтверждает a posteriori то, что нами уже было показано, а именно, что она составлена из притяжений всех молекул Земли.

В этом случае закон, по которому изменяется тяжесть, зависит от фигуры земного сфероида, в свою очередь зависящей от закона тяжести.

Эта взаимная зависимость двух неизвестных величин очень затрудняет исследование фигуры Земли. К счастью, эллиптическая фигура, самая простая из всех замкнутых фигур после сферы, удовлетворяет равновесию наделенной вращательным движением жидкой массы, у которой все молекулы притягиваются обратно пропорционально квадратам расстояния. Ньютон удовольствовался этим предположением и, исходя из этой гипотезы и полагая Землю однородной, нашел, что две оси этой планеты относятся как 229 к 230. Отсюда легко вывести закон изменения веса на Земле. Для этого рассмотрим различные точки, расположенные на одном и том же радиусе, проведенном из центра к поверхности однородной жидкой массы, находящейся в равновесии. Все подобные эллиптические слои, которые покрывают какую-либо из них, не сказываются на ее весе, и равнодействующая притяжений, которые она испытывает, зависит исключительно от притяжения эллипсоида, подобного полному эллипсоиду, поверхность которого проходит через эту точку. Одинаковые и подобно расположенные молекулы этих двух эллипсоидов притягивают эту точку и соответствующую ей точку на внешней поверхности пропорционально массам, разделенным на квадраты расстояний. Массы относятся как кубы соответствующих размеров этих двух эллипсоидов, а квадраты расстояний относятся как квадраты тех же размеров. Поэтому притяжения подобных молекул пропорциональны этим размерам, откуда следует, что полные притяжения обоих эллипсоидов находятся в таком же отношении, и их направления параллельны. Центробежные силы в двух точках, которые мы рассматриваем, тоже пропорциональны тем же размерам, а силы тяжести в них, являющиеся равнодействующими всех этих сил, относятся между собой как их расстояния от центра жидкой массы.

Теперь, если представить себе два столба жидкости, направленных из центра сфероида: один — к полюсу, а другой — к какой-либо точке его поверхности, ясно, что если сфероид сжат очень мало, силы тяжести, разложенные по направлениям этих столбов, будут почти такими же, как и полные силы тяжести. Поэтому, разделив оба столба на равное число бесконечно малых частей, пропорциональных их длине, получим, что веса соответствующих частей будут относиться между собой как произведения длин этих столбов на вес в точках поверхности, где они кончаются. В результате полные веса этих столбов жидкости будут находиться в том же отношении. Для равновесия эти веса должны быть равны. Следовательно, веса на поверхности должны быть обратно пропорциональны длине столбов. А так как радиус экватора длиннее полярного на 1/230, вес па полюсе должен на 1/230 превышать вес на экваторе.

Это предполагает, что эллиптическая фигура удовлетворяет равновесию массы однородной жидкости, что показал Маклорен с помощью очень красивого метода, из которого следует, что в этом случае возможно точное равновесие и что, если эллипсоид сжат очень мало, эллиптичность равна 5/4 отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе.

Одному и тому же вращательному движению соответствуют две различные фигуры равновесия, но равновесие не может существовать при любых таких движениях. Самая малая продолжительность одного оборота находящейся в равновесии однородной жидкости той же плотности, что и средняя плотность Земли, равна 0.1009 суток, и этот предел меняется обратно пропорционально квадратному корню из плотности. Когда вращение быстрее, жидкая масса сжимается с полюсов, что уменьшает продолжительность оборота до предела, требуемого состоянием ее равновесия.

После большого числа колебаний жидкость из-за трения и сопротивления, которые она испытывает, стабилизируется в этом единственном и определяемом начальным движением состоянии, и, каковы бы ни были начальные силы молекул, ось, проходящая через центр тяжести жидкой массы, по отношению к которой первоначальный момент сил был наибольшим, становится осью вращения.

Изложенные результаты дают простой способ проверки предположения об однородности Земли. Нерегулярность градусов измеренных меридианов оставляет слишком большую неуверенность в величине сжатия Земли, чтобы определить, удовлетворяет ли оно, хотя бы приблизительно, высказанному предположению. Но довольно правильное возрастание тяжести от экватора к полюсам может пролить свет на этот вопрос. Если принять за единицу тяжесть па экваторе, ее приращение на полюсе равно 0.00435 при условии, что Земля однородна. По наблюдениям маятников это приращение получается равным 0.0054. Следовательно, Земля — неоднородна. В самом деле, естественно думать, что плотность ее слоев увеличивается от поверхности к центру. Для устойчивости равновесия морей даже необходимо, чтобы их плотность была меньше средней плотности Земли. Иначе вода, движимая ветрами и дру-іими причинами, часто выходила бы из своих пределов и затопляла бы континенты.

Поскольку однородность Земли исключается наблюдениями, для определения ее фигуры необходимо рассматривать море как бы покрывающим некоторое ядро, плотность слоев которого уменьшается от центра к поверхности. В своей прекрасной работе о фигуре Земли Клеро показал, что равновесие возможно также, если предположить эллиптическими фигуру ее поверхности и слоев ее внутреннего ядра. При наиболее вероятных предположениях о законах плотности и эллиптичности этих слоев сжатие Земли оказывается меньшим, чем в случае однородности, и большим, чем если бы сила тяжести была направлена в одну единственную точку. Возрастание тяжести от экватора к полюсам получается большим в первом случае, чем во втором. Но между полным приращением тяжести, взятой за единицу на экваторе, и эллиптичностью Земли существует замечательное соотношение. При любых гипотезах о структуре ядра, покрытого морем, насколько эллиптичность всей Земли меньше той, которая была бы в случае однородности, настолько же общее приращенпе тяжести больше того, которое было бы в этом же случае, п наоборот. Следовательно, сумма этого приращения и эллиптичности

всегда одинакова и равна пятикратной половине отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе, что для Земли составляет 1/115.2.

Если предположить, что слои земного сфероида имеют эллиптическую форму, возрастание его радиусов и силы тяжести, а также уменьшение градусов меридиана от полюсов к экватору пропорциональны квадрату косинуса широты и связаны с эллиптичностью Земли таким образом, что полное возрастание радиусов равно этой эллиптичности; полное уменьшение градусов равно эллиптичности, умноженной на утроенную величину градуса на экваторе; и полное возрастание силы тяжести равно силе тяжести на экваторе, умноженной на избыток 1/115.2 над этой эллиптичностью. Таким образом, можно определить эллиптичность Земли либо путем градусных измерений, либо по наблюдениям маятников. Совокупность этих наблюдений дает величину возрастания силы тяжести от экватора к полюсам, равную 0.0054. Вычитая эту величину из 1/115.2, получаем сжатие Земли равным 1/304.8. Если предположение об эллиптичности фигуры Земли соответствует природе вещей, это сжатие должно удовлетворять и градусным измерениям. Но оно, напротив, выявляет в них значительные погрешности, что вместе с трудностью приведения всех измерений к одному и тому же эллиптическому меридиану, по-видимому, указывает на то, что фигура Земли сложнее, чем думали раньше. Это не покажется удивительным, если принять во внимание неравномерность глубин морей, возвышение континентов и островов над их уровнем, высоту гор и неравномерность плотностей различных пород на поверхности этой планеты.

Чтобы наиболее полно охватить теорию фигуры Земли и планет, надо было бы определить притяжение сфероидов, мало отличающихся от сферы и образованных, следуя определенным законам, из переменных по форме и плотности слоев. Кроме того, надо было бы определить фигуру, соответствующую равновесию жидкости, покрывающей ее поверхность, так как необходимо представлять себе планеты покрытыми, как и Земля, находящейся в равновесии жидкостью, поскольку иначе их фигура была бы совершенно. произвольной. Даламбер дал для этого хитроумный метод, применимый к большому числу разных случаев. Но этому методу не хватает той простоты, которая столь желательна в таких сложных изысканиях и составляет их главное достоинство. Одно замечательное уравнение в частных производных, относящееся к притяжению сфероидов, привело меня без помощи интегрирования, одним лишь дифференцированием, к общему выражению, которое дает радиусы сфероидов, притяжение ими любых точек, помещенных внутри них, на их поверхности или вне их, условия равновесия покрывающих их жидкостей, законы силы тяжести и изменения длины градусов меридиана на поверхности этих жидкостей. Все эти величины связаны между собой очень простыми соотношениями, в результате чего появляется возможность проверить предположения, которые можно сделать для представления как наблюденных изменений силы тяжести, так и градусных измерений меридиана. Бугер, желая представить градусные измерения в Лапландии, во Франции и на экваторе, предположил, что Земля яв

ляется сфероидом вращения, у которого увеличение градусов меридиана от экватора к полюсам пропорционально четвертой степени сипуса широты. Однако мы находим, что это предположение не может удовлетворить увеличению силы тяжести от экватора до ГІелло, увеличению, которое по наблюдениям равно 0.0045 полной силы тяжести, но по этому предположению равнялось бы лишь 0.0027.

Выражения, о которых я говорил, дают прямое и общее решение проблемы, состоящей в определении фигуры равновесия жидкой массы, если предположить, что она вращается и состоит из бесконечного множества жидкостей любых плотностей, все молекулы которых притягиваются пропорционально массам и обратно пропорционально квадратам расстояний. Лежандр уже решил эту проблему очень остроумным анализом, предположив массу однородной. В общем случае жидкость обязательно принимает форму эллипсоида вращения, у которого все слои эллиптичны и уменьшаются по плотности, а эллиптичность возрастает от центра к поверхности. Границы сжатия всего эллипсоида лежат в пределах от 5/4 до 1/2 отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе. Первый предел относится к однородной массе, а второй — к тому случаю, когда слои, бесконечно близкие к центру, бесконечно плотны, и вся масса сфероида может рассматриваться собранной в этой точке. В этом последнем случае сила тяжести была бы обратно пропорциональна квадрату расстояния и направлена в эту единственную точку. Поэтому фигура Земли была бы такой, как мы определили выше. Но в общем случае линия, определяющая направление силы тяжести от центра к поверхности сфероида, представляет собой кривую, каждый элемент которой перпендикулярен к пересекаемому им слою.

Упомянутый мной анализ предполагает, что земной сфероид полностью покрыт морем. Но так как в действительности жидкость оставляет непокрытой значительную часть сфероида, этот анализ, несмотря на свой общий характер, не воспроизводит в точности природу, и необходимо изменить выводы, полученные при предположении о полном покрытии сфероида водой. Правда, в этом случае математическая теория фигуры Земли представляет большие затруднения, но прогресс анализа, особенно в этой части, дает средство преодолеть возникающие трудности и рассматривать континенты и моря такими, какими их дают наблюдения. Приближаясь таким путем к природе, можно попять причины многих важных явлений, известных нам из естественной истории и геологии, что может пролить яркий свет на эти две науки, присоединив их к теории системы мира. Вот главные результаты моего анализа. Одним из наиболее интересных является следующая теорема, неоспоримо устанавливающая неоднородность слоев земного сфероида:

если к длине секундного маятника, определенной из наблюдений в какой-либо точке поверхности земного сфероида, прибавить произведение этой длины на половину высоты этой точки над уровнем океана, определенной с помощью барометра и разделенной на полярную полуось, возрастание исправленной таким образом длины от экватора к полюсам при предположении, что плотность Земли глубже некоторой незначительной

величины становится постоянной, будет равно произведению этой длины на экваторе на квадрат синуса широты и на 514 отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе,зь или на 0.0043.

Эта теорема, к которой меня привело дифференциальное уравнение первого порядка, действительное для поверхности однородных сфероидов, мало отличающихся от сферы, в общем случае справедлива, каковы бы пи были плотность моря и то, как оно покрывает часть суши. Она замечательна тем, что не предполагает известными ни фигуру земного сфероида, ни конфигурацию моря, т. е. фигур, которые невозможно было бы получить.

Опыты, произведенные в обоих полушариях с маятниками, согласуются в том, что коэффициент при квадрате синуса широты больше

0.0043 и очень близок к 0.0054 длины маятника на экваторе. Таким образом, эти опыты доказывают, что внутренность Земли неоднородна. Кроме того, из сравнения их с результатами анализа видно, что плотность земных слоев возрастает от поверхности к центру.

Правильность, с которой наблюденные длины секундных маятников следуют закону квадрата синуса широты, доказывает, что эти слои равномерно расположены вокруг центра тяжести Земли и форма их близка к эллипсоиду вращения.

Эллиптичность земного сфероида может быть определена измерением градусов меридиана. Но попарное сравнение различных измерений дает значительно различающиеся эллиптичности, так что изменение длины градуса не так точно следует закону квадрата синуса широты, как изменение силы тяжести. Это зависит от вторых производных земного радиуса, которые присутствуют в выражениях градуса меридиана и радиуса оскулирующей окружности, тогда как выражение силы тяжести содержит только первые производные этого радиуса, небольшие отклонения которого от радиуса эллипса возрастают при последовательных дифференцированиях. Однако если сравнить такие отдаленные друг от друга градусы, как градусы во Франции и на экваторе, их аномалии должны быть мало заметны в их разностях, и из этого сравнения мы находим, что эллиптичность земного сфероида равна 1/308.

Как мы уже видели, существует другой, более точный способ получения этой эллиптичности путем сравнения большого числа наблюдений с двумя лунными неравенствами, вызванными сжатием Земли: одним — по долготе и другим — по широте. Они согласуются между собой и дают величину сжатия земного сфероида, почти равную 1/305. Заслуживает внимания то обстоятельство, что каждое из двух неравенств приводит к этому результату, который, как мы видим, очень мало отличается от получаемого из сравнения градусных измерений во Франции и на экваторе.

Так как плотпость моря составляет приблизительно лишь 1/5 средней плотности Земли, вода морей должна мало влиять на изменения градусов и силы тяжести, а также на два лунных неравенства, о которых я говорил. Ее влияние еще уменьшается незначительностью средней глубины моря, которая этим доказывается. Если представить себе земной

сфероид лишенным океана и предположить, что в этом состоянии его поверхность стала жидкой и пришла в равновесие, можно получить его эллиптичность, вычитая из пятикратной половины отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе полученный из опыта коэффициент при квадрате синуса широты в выражении длины секундного маятника, приняв его длину на экваторе за единицу.37 Сжатие земного сфероида, полученное таким путем при пренебрежении небольшим влиянием действия моря на силу тяжести, равно 1/304.8. Малое отличие этого сжатия от тех величин, которые определяются из измерения земных градусов и лунных неравенств, доказывает, что поверхность этого сфероида была бы очень близкой к поверхности равновесия, если бы стала жидкой. Отсюда и из того, что море не покрывает большие континенты, можно заключить, что оно должно быть неглубоко и что его средняя глубина — того же порядка, что и средняя высота континентов и островов над его уровнем, которая не превышает 1000 м. Поэтому средняя глубина морей является лишь малой частью избытка экваториального радиуса над полярным, избытка, превосходящего 20 000 м. Подобно тому, как высокие горы покрывают некоторую часть континентов, в бассейнах морей могут существовать большие впадины. Однако естественно думать, что их глубина меньше, чем высота высоких гор, так как отложения рек и останки морских животных, увлекаемых течениями, со временем должны были их заполнить.

Эти выводы важны для естественной истории и геологии. Нельзя сомневаться в том, что море некогда покрывало большую часть наших континентов, на которых оно оставило неоспоримые следы своего пребывания. Различные явления, представляемые в наше время поверхностью и верхними пластами континентов, по-видимому, ясно указывают на оседание островов и части материков того времени и на последовавшие затем обширные опускания морских бассейнов, открывшие ранее затопленные участки. Чтобы объяснить эти оседания, достаточно предположить, что причины, вызвавшие их, обладали большей энергией, чем те, которые обусловили оседания, о которых история сохранила воспоминание. Оседание одной части морского бассейна открывает другую его часть, тем большую, чем мельче море. Поэтому из океана могли выйти большие континенты, не вызвав больших изменений в фигуре земпого сфероида. Принадлежащее сфероиду свойство мало отличаться от того, который получился бы, если бы его поверхность стала жидкой, предусматривает, чтобы опускание уровня моря составляло лишь небольшую часть разности двух осей — экваториальной и полярной. Все гипотезы, основанные на значительных перемещениях полюсов по поверхности Земли, должны быть исключены, как несовместимые с упомянутым свойством. Это перемещение было придумано, чтобы объяснить существование слонов, ископаемые кости которых в изобилии находят в таких далеких северных странах, в которых современные слоны не могли бы жить. Но слон, которого с большой вероятностью предполагают современником последнего катаклизма и которого нашли во льду с хорошо сохранившимся мясом, имел кожу, покрытую густой шерстью.

Это доказывает, что такой вид слонов был хорошо защищен от холодов северных стран, в которых он мог обитать и даже к ним стремиться. Открытие этого животного подтвердило то, чему учит нас математическая теория Земли, а именно: при катаклизмах, изменивших поверхность Земли и уничтоживших многие виды животных и растений, фигура земного сфероида и положение его оси вращения на его поверхности испытали только слабые изменения.38

Какова же причина, придавшая слоям земного сфероида почти эллиптическую форму и увеличивающуюся от поверхности к центру плотность? Кто расположил их регулярно вокруг общего центра тяжести и кто придал поверхности сфероида форму, мало отличающуюся от той, которую он бы принял, если бы вначале был жидким? Если разные вещества, составляющие Землю, вначале под влиянием высокой температуры находились в жидком состоянии, то со временем более плотные из них должны были переместиться к центру. Все они приняли эллиптическую форму, а поверхность пришла в равновесное состояние. Затвердевая, эти слои лишь немного изменили свою форму, и теперь Земля должна обладать теми свойствами, о которых я говорил. Такое объяснение широко обсуждалось геометрами. Но Земля, однородная в химическом отношении или состоящая внутри из одного единственного вещества, также могла бы продемонстрировать нам такие явления. В самом деле, можно представить себе, что гигантский вес верхних слоев мог значительно увеличить плотность нижних. До сих пор геометры не вводили в свои изыскания, относящиеся к фигуре Земли, сжимаемость составляющих ее веществ, хотя Даниил Бернулли в своей работе о приливах и отливах морей уже указывал на это, как на причину увеличения плотности слоев земного сфероида. Анализ, который я применил к этому предмету в XI книге «Небесной механики», показал, что можно удовлетворить всем известным явлениям, предположив, что внутренность Земли образована из одного вещества. Так как закон распределения плотности, приобретаемой при давлепии слоями этого вещества, неизвестен, можно в этом отпошении высказать одни только гипотезы.

Известно, что плотность газов при неизменной температуре возрастает пропорционально их сжатию. Но этот закон не представляется пригодным для жидких и твердых тел. Естественно думать, что эти тела сопротивляются сжатию тем сильнее, чем больше они сжаты. Это подтверждается экспериментами, так что отношение дифференциала сжатия к дифференциалу плотности не постоянно, как у газа, а возрастает вместе с плотностью. Самое простое выражение этого переменного отношения дается произведением плотности на некоторую постоянную величину. Такой закон я принял потому, что он сочетает два достоинства: самым простым способом представляет то, что мы знаем о сжатии тел, и легко поддается вычислениям при изыскании фигуры Землц. В этих вычислениях я хотел только показать, что такой подход к рассмотрению внутреннего строения Земли может согласоваться со всеми явлениями, зависящими от этого строения, по крайней мере, если земной сфероид вначале был жидким. В твердом состоянии сцепление молекул очень

сильно уменьшает их взаимную сжимаемость, что помешало бы всей массе принять ту правильную фигуру, которую она имела бы в жидком состоянии, если бы вначале от нее отличалась. Поэтому как в этом предположении о строении Земли, так и при всех других возможных предположениях мне представляется необходимым считать, что вначале Земля была в жидком состоянии, на что указывают упорядоченное распределение силы тяжести и правильность фигуры ее поверхности.

Вся астрономия основана на неизменности положения оси вращения Земли на поверхности земного сфероида и на равномерности ее вращения. Период вращения Земли вокруг своей оси является эталопом времени. Поэтому очень важно уточнить влияние всех причин, которые могут изменить этот элемент. Земная ось движется вокруг полюсов эклиптики. Но с той эпохи, когда применение зрительной трубы в астрономических инструментах дало точный способ определения земных широт, в этих широтах не обнаружено никаких изменений, которые не могли бы быть приписаны погрешностям наблюдений. Это доказывает, что с этой эпохи ось вращения Земли проходила почти в точности через одни и те же точки земной поверхности, и поэтому представляется пе-изменной. Существование подобных осей в твердых телах известно с давних времен. Известно, что каждое из этих тел имеет три главные взаимно перпендикулярные оси, вокруг которых оно может равномерно вращаться, причем ось вращения остается неизменной. Но обладают ли другие тела, такие как Земля, покрытая частично жидкостью, этим замечательным свойством? Ведь в этом случае к условиям главных осей прибавляется еще условие равновесия жидкости. Оно меняет фигуру поверхности при изменении оси вращения. Поэтому необходимо знать, есть ли среди всех возможных изменений такое, при котором и ось вращения, и равновесие жидкости остаются неизменными. Анализ доказывает, что если очень близко от центра тяжести земиого сфероида провести неподвижную ось, вокруг которой он может свободно вращаться, на поверхности этого сфероида море всегда сможет занять постоянное положение равновесия. В упомянутой мной одиннадцатой кпиге для определения этого состояния я дал метод приближения, расположенного по степеням отношения плотности моря к средней плотности Земли, отношения, которое, не превышая 1/5, делает приближение сходящимся. Изменчивость глубины моря и неправильность его очертаний не позволяют получить это приближение. Но достаточно только признать эту возможность, чтобы увериться в существовании равновесного состояния моря. Поскольку положение неподвижной оси вращения произвольно, естественно думать, что среди всех положений, которые можно ей придать, найдется одно такое, при котором она проходит через общий центр тяжести моря и покрываемого им сфероида таким образом, что если бы морская вода, придя в равновесие, замерзла в этом состоянии, эта ось стала бы главной осью вращения совокупности земного, сфероида н моря. Ясно, что если вернуть замороженной массе ее текучесть, ось останется неизменной для всей Земли. Путем анализа я показал, что такая ось всегда возможна, и дал уравнения, определяющие ее положеиие. Применяя эти уравнения к случаю, когда море целиком покрывает сфероид, я пришел к следующей теореме:

если вообразить плотность каждого слоя земного сфероида уменьшенной на величину плотности моря и если представить себе главную ось проходящей через центр тяжести этого воображаемого сфероида, то при вращении Земли вокруг этой оси море будет находиться в равновесии, а эта ось будет главной осью всей Земли в целом, центр тяжести которой будет центром тяжести воображаемого сфероида.

Таким образом, море, только частично покрывающее земной сфероид, ие только не делает невозможным существование главной оси, но еще благодаря своей подвижности и сопротивлению, которое испытывают его колебания, вернуло бы Земле состояние постоянного равновесия* если бы какие-нибудь причины его нарушили.

Если бы море было достаточно глубоко, чтобы покрыть всю поверхность земного сфероида, то если представить его вращающимся последовательно вокруг каждой из трех главных осей воображаемого сфероида, о котором мы говорили, каждая из этих осей была бы главной осью для всей Земли. Но устойчивость оси вращения имеет место, как и в твердом теле, только относительно двух главных осей, для которых момент инерции имеет максимум или минимум. Однако между твердым телом и Землей есть та разница, что при изменении оси вращения твердое тело не изменяет своей формы, тогда как поверхность моря при этом изменении принимает другую фигуру. Три фигуры, принимаемые этой поверхностью при вращении с одинаковой угловой скоростью последовательно вокруг каждой из трех осей вращения воображаемого сфероида, связаны между собой очень простыми соотношениями, которые я определил. Из моего анализа следует, что средний радиус трех поверхностей моря, соответствующих одной и той же точке поверхности земного сфероида, равен радиусу поверхности моря, находящегося в равновесии на этом сфероиде, полностью лишенном вращательного движения.

В V книге «Небесной механики» я рассмотрел вопрос о влиянии внутренних причин, таких, как вулканы, землетрясения, ветры, морские течения и т. д., на продолжительность вращения Земли и с помощью принципа площадей показал, что эти влияния неощутимы и заметное воздействие могло бы получиться только в том случае, если бы в силу этих причин значительные массы были перенесены на большие расстояния, чего не было в исторические времена. Но существует одна еще не рассмотренная внутренняя причина, изменяющая длину суток, которая ввиду важности этого элемента, заслуживает специального анализа. Эта причина состоит в нагретости земного сфероида.39 Если, как все говорит о том, вся Земля вначале была жидкой, ее размеры уменьшались вслед за уменьшением температуры. Ее угловая скорость вращения постепенпо увеличивалась и будет продолжать возрастать, пока Земля не придет в постоянное состояние, отвечающее средней температуре пространства, в котором она движется. Чтобы получить верное представление об увеличении этой угловой скорости, вообразим в пространстве с заданной температурой вращающийся шар из однородного

вещества, делающий один оборот вокруг своей оси за сутки. Если перенести этот шар в пространство, в котором температура меньше на один градус стоградусной шкалы, и если предположить, что его вращение не изменилось ни сопротивлением среды, ни трением, его размеры уменьшатся только от уменьшения температуры. И если с течением времени он примет температуру нового пространства, его радиус будет уменьшен па величину, которую я положил бы равной 0.00001, что приблизительно имеет место для стеклянного шара и что можно принять для Земли. Вес теплоты не был обнаружен ни в одном эксперименте, поставленном для его измерения. Поэтому представляется, что она, как и свет, не вносит никакого заметного изменения в массу тела. Таким образом, можно предположить, что в новом пространстве два фактора остаются неизменными, т. е. такими же, какими были в старом, именно, масса шара и отнесенная к плоскости его экватора сумма площадей, описанных за некоторое время каждой из его молекул. Молекулы приближаются к центру шара на 0.00001 их расстоянии от этого центра. Площади, описываемые ими в плоскости экватора, будут пропорциональны квадратам этих расстояний. Они уменьшились бы на величину, близкую к 1/50 000, если бы угловая скорость вращения не возросла. Отсюда следует, что для постоянства суммы площадей, описанных за данное время, должно произойти увеличение этой скорости и, следовательно, уменьшение продолжительности одного оборота на 1/50 000. Такое изменение будет окончательным. Но прежде чем прийти к своему окончательному состоянию, температура шара непрерывно уменьшается, причем более медленно в центре, чем на поверхности, так что путем наблюдения этого уменьшения и исходя из теории теплоты можно было бы определить эпоху, когда шар был перенесен в новую среду. Представляется, что Земля находится в подобном же состоянии. Это следует из термометрических измерений, сделанных в глубоких шахтах и указывающих на очень заметное возрастание теплоты по мере проникновения в глубь Земли. Среднее из наблюденных возрастаний температуры представляется равным одному градусу стоградусной шкалы при погружении на 32 м. Но очень большое число наблюдений позволит точно, установить эту величину, которая может быть неодинаковой в разных странах.*

Чтобы получить увеличение скорости вращения Земли, было необходимо узнать закон уменьшения ее температуры от центра к поверхности. Я это сделал в XI книге «Небесной механики» для шара, нагретого вначале каким-либо способом и, сверх того, подвергаемого нагреванию

* Представим себе под обширным плато, на глубине 3000 м, большой резервуар, питаемый дождевой водой. На этой глубине она, нагреваясь от земного тепла, достигает температуры, близкой к температуре кипящей воды. Предположим теперь, что из-за давления прилегающих к ней столбов воды или пара, поднимающегося из резервуара, его вода поднимается до высоты основанпя упомянутого плато, откуда она стекает, образуя источник горячей воды, насыщенной растворимыми веществами тех слоев, через которые она протекла. Это дает правдоподобное объяснение происхождения термальных вод.

от внешней причины. Закон, о котором идет речь, я опубликовал в 1819 г. в сборнике «Connaissance des Temps». Пуассон затем подтвердил его научным анализом; этот закон представлен бесконечным рядом членов, имеющих коэффициентами последовательно убывающие постоянные величины, меньшие единицы, у которых показатели степени возрастают пропорционально времени. Таким образом, с течением времени эти члены один за другим исчезают, так что перед установлением окончательной температуры значимым остается только один из этих членов, который вызывает увеличение температуры внутри шара. Я предположил, что Земля уже пришла к этому состоянию, от которого она, может быть, еще очень далека. Но, желая дать лишь общее представление о влиянии уменьшения ее внутренней температуры на продолжительность суток, я принял эту гипотезу и вывел из нее приращение скорости вращения. Чтобы довести это приращение до численных значений, было необходимо определить значения двух произвольных постоянных, зависящих одна — от теплопроводности Земли, а другая — от повышения температуры ее поверхностного слоя над температурой окружающего его пространства. Первую из этих постоянных я определил с помощью изменений годичной температуры на разных глубинах и использовал для этого опыты г-на де Соссюра, изложенные в № 1422 его «Путешествия в Альпы». В этих исследованиях годичное изменение температуры па поверхности оказалось уменьшенным до 1/12 на глубине 9.6 м. Затем я предположил, что в наших шахтах возрастание температуры равно одному градусу стоградусной1 шкалы при углублении на 32 м и что линейное расширение земных слоев равно 0.00001 на один градус тем гіературы. По этим дапным я нахожу, что продолжительность суток не увеличилась даже на 0.005 десятичной секунды [0.s004] за 2000 лет, что в основном зависит от большой величины земного радиуса.

Правда, я предполагал, что Земля однородна, а между тем неоспоримо, что плотность ее слоев возрастает от поверхности к центру. Но здесь следует заметить, что количество тепла и его движение были бы такими же в неоднородной среде, если в соответствующих частях обоих тел температура и теплопроводность были бы одинаковыми. В этом случае материя может рассматриваться как проводник тепла; передача тепла может быть одинаковой у веществ различной плотности. Иначе дело обстоит с динамическими свойствами, зависящими от масс молекул. Итак, в этом кратком очерке действия земного тепла на продолжительность суток мы можем распространить на неоднородную Землю данные о тепле, относящиеся к однородной Земле. ТакИхЛі путем находим, что возрастание плотности слоев земного сфероида уменьшает влияние тепла на продолжительность суток, влияние, которое со времен Гиппарха не увеличило эту продолжительность и иа 1/300 с [0.s003].

Член, от которого зависит возрастание внутренней температуры Земли, не прибавляет в наше время даже 1/5° к средней температуре ее поверхности. Его исчезновение, которое должно произойти через много веков, не будет причиной исчезновения каких-либо видов живущих в настоящее время организмов, во всяком случае до тех пор, пока солнечное тепло или расстояние Солнца от Земли не испытают заметных изменений.

Впрочем, я далек от мысли, что изложенные выше предположения обязательно соответствуют природе. Прежде всего, наблюденные величины двух упомянутых выше постоянных зависят от свойств почвы, которые в том, что относится к теплоте, в разных странах различны. Но краткий очерк, сделанпый мной, достаточен, чтобы видеть, что наблюденные явления, относящиеся к теплоте Земли, могут быть согласованы с результатом, который я вывел из сравнения теории вековых неравенств Луны с древними наблюдениями затмений, а именно, что со времен Гиппарха продолжительность суток не изменилась на 0.01 с [0.4)09].

Но каково отношение средней плотности Земли к известной плотности вещества на ее поверхности? Влияние притяжения гор на колебания маятника и на направление нити отвеса может привести нас к решению этой интересной проблемы. Правда, самые высокие горы все же очень малы по сравнению с Землей. Но мы можем очень приблизиться к центру их действия, и это вместе с высокой точностью современных наблюдений должно сделать достаточно ощутимым их влияние. Очень высокие горы в Перу казались подходящими для этой цели. Бугер не пренебрег столь важным наблюдением во время своего путешествия, предпринятого для измерения градуса меридиана на экваторе. Но так как эти большие горы — вулканические и пустые внутри, влияние их притяжения оказалось значительно меньше, чем можно было ожидать исходя из их величины. Все же оно было заметно. Без влияния притяжения горы уменьшение силы тяжести на вершине г. Пи-чинча должно было бы быть 0.00149, а наблюдения дали лишь 0.00118. Отклонение нити отвеса под влиянием притяжения другой горы превысило 20сс [6.5"]. Позднее Маскелайн с исключительной точностью измерил подобное отклонение, вызванное влиянием горы в Шотландии. Из его измерения следует, что средняя плотность Земли приблизительно вдвое больше, чем плотность горы, и в четыре или пять раз больше плотности обыкновенной воды. Эти любопытные наблюдения заслуживают того, чтобы быть повторенными на разных горах, внутреннее строение которых хорошо известно. Кавендиш определил эту плотность из притяжения .двух больших металлических шаров; с помощью весьма остроумного способа ему удалось сделать это притяжение заметным. Из его опытов получилось, что отношение средней плотности Земли к плотности воды весьма близко к 11/2, что с предыдущим отношением согласуется настолько хорошо, насколько можно ожидать от таких тонких исследований.*

Я представлю здесь некоторые соображения о приведении наблюдений к уровню моря. Вообразим вокруг Земли очень разреженный и везде одинаково плотный флюид, который возвышается над ней очень мало, однако настолько, чтобы покрыть самые высокие горы. Такой

* По новейшим данным, средняя плотность Земли равна 5.52, что почти совпадает с приводимой Лапласом (Ред.).

была бы наша атмосфера, приведенная к ее средней плотности. Анализ показывает, что соответствующие точки двух поверхностей — моря и этого флюида — разделены всюду одинаковым интервалом. Мысленно продолжая поверхность моря под континентами и под поверхностью упомянутой среды таким образом, чтобы обе поверхности были везде разделены этим интервалом, мы получим то, что я назвал уровнем моря. Эллиптичность этих двух поверхностей определяется градусными измерениями. Кроме того, изменение силы тяжести на поверхности упомянутого флюида, прибавленное к эллиптичности этой поверхности, дает постоянную сумму, равную 5/2 отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе. Следовательпо, к этой поверхности или к поверхности моря, продолженной так, как мы указали, надо относить измерения градусов и периода качания маятников, произведенные на континентах. Легко доказать, что сила тяжести изменяется заметным образом при переходе от точки на континенте к соответствующей точке на поверхности воображаемого флюида только в зависимости от расстояния между этими точками, если уклон в сторону моря незначителен. Поэтому при приведении длины маятника к уровню моря надо принимать во внимание только высоту точки наблюдения над определенным нами уровнем. Чтобы проиллюстрировать это результатами вычисления в одном из случаев, который я подверг анализу,* представим себе, что Земля есть эллипсоид вращения, частично покрытый морем, плотность которого мы предположим очень малой по сравнению со средней плотностью Земли. Если эллиптичность земного сфероида меньше той, которая соответствует равновесию его поверхности, предполагаемой жидкой, море покроет экваториальную зону до некоторой определенной широты. Градусы, измеренные на континентах и увеличенные в отношении их расстояний от поверхности предполагаемого флюида, если принять за единицу земной радиус, будут теми, которые мы измерили бы на этой поверхности. Длина секундного маятника, уменьшенная на удвоенную величину этого отношения, была бы той, которую мы наблюдали бы на этой самой поверхности, и эллиптичность, определенная градусными измерениями, была бы той же, какую мы получили бы, вычитая из 5/2 отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе избыток силы тяжести на полюсе над силой тяжести на экваторе, принятой за единицу.

Применим эту теорию к Юпитеру. Центробежная сила, вызванная вращением этой плапеты, очень близка к 1/12 силы тяжести на экваторе, ио крайней мере, если принять расстояние четвертого спутника от центра Юпитера таким, какое приведено во второй книге. Если бы Юпитер был однородеп, мы получили бы диаметр его экватора, прибавив к его малой оси, взятой за единицу, 5/4 предыдущей дроби. Тогда две его оси относились бы как 10 к 9.06. Однако наблюдения дают иное отношение: 10 к 9.43. Следовательно, Юпитер неоднороден. Если предположить, что он состоит из слоев с убывающей от центра к поверхности плотностью, его эллиптичность должна заключаться между 1/24 и 5/48. Наблюдаемая эллиптичность, находясь в этих пределах, доказывает нам неоднородность его слоев и, по аналогии, неоднородность слоев земного сфероида, уже замеченную благодаря маятниковым измерениям и подтвержденную лунными неравенствами, зависящими от сжатия Земли.