Наукова бібліотека України

Loading
Книга третья - О ЗАКОНАХ ДВИЖЕНИЯ
Серия "Классики науки" - Лаплас П. С. "Изложение системы мира"

Глава I О СИЛАХ, ИХ СЛОЖЕНИИ И О РАВНОВЕСИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Тело представляется нам движущимся, если оно меняет свое положение по отношению к системе тел, которую мы считаем неподвижной. Так, на равномерно движущемся корабле тела кажутся нам движущимися, если опи оказываются последовательно в разных его частях. Это движение лишь относительное, так как корабль движется по поверхности моря, которое вращается вокруг земной оси, а центр Земли обращается вокруг Солнца, которое само вместе с Землей и планетами уносится в пространство. Чтобы понять, где же предел этих движений, и чтобы прийти к неподвижным точкам, от которых можно было бы отсчитывать абсолютные движения тел, воображают беспредельное и неподвижное пространство, проницаемое для материи. К частям этого пространства, реального или идеального, мы и относим мысленно положения тел. И мы считаем их движущимися, если они последовательно находятся в разных частях этого пространства.

Сущность этого своеобразного изменения, в силу которого тело переносится из одного места в другое, нам неизвестна и никогда не будет известна. Она была обозпачена названием сила, и мы можем лишь определять ее влияние и законы ее действия.

Если ей ничего не противопоставляется, результат влияния силы па материальную точку выраясается в том, что ей сообщается движение. Направление силы есть прямая, по которой она перемещает эту точку. Ясно, что если две силы действуют в одном направлении, они прибавляются одна к другой, а если они действуют в противоположных направлениях, точка движется только благодаря их разности и останется нено-движной, если силы равны.

Если направления двух сил образуют между собой какой-либо угол, их равнодействующая примет среднее направление. С помощью одной только геометрии доказывается, что если из точки приложения сил провести представляющие их прямые и затем построить на этих отрезках параллелограмм, то его диагональ представит направление и величину результирующей силы.

Две составляющие силы можно заменить одной равнодействующей или, наоборот, одну какую-либо силу разложить на две, для которых она будет равнодействующей. Следовательно, одну силу можно разложить на две составляющие, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, лежащим в плоскости этой силы. Для этого достаточно через начало прямой, представляющей эту силу, провести две линии, параллельные этим осям, и образовать на этих линиях прямоугольник, у которого эта прямая будет диагональю. Тогда две стороны этого прямоугольника представят силы, па которые может быть разложена исходная сила параллельно осям.

Если сила наклонена к заданной плоскости, то, отложив в направлении этой силы от точки, где она встречает эту плоскость, представляющий ее отрезок и опустив из его конца на плоскость перпендикуляр, получим составляющую исходной силы, перпендикулярную этой плоскости. Проведенная в ней прямая, соединяющая силу и перпендикуляр, будет составляющей параллельной плоскости. Эта вторая, частная сила сама может быть разложена на две другие, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в той же плоскости. Таким образом, всякая сила может быть разложена на три составляющие, параллельные трем взаимно перпендикулярным осям.

Отсюда рождается простой способ получения равнодействующей любого числа сил, действующих на материальную точку, так как, разлагая каждую из них на три другие, параллельные трем заданным взаимно перпендикулярным осям, все силы, параллельные каждой из осей, сводам к одной, равной сумме тех, которые действуют в одном направлении, без суммы сил, действующих в противоположном направлении. Таким образом, точка будет подвержена действию трех взаимно перпендикулярных сил, и, если по направлению каждой из них отложить ее величину от общего начала и на отложенных отрезках построить прямоугольный параллелепипед, его диагональ представит по направлению и величине равнодействующую всех сил, приложенных к данной точке.

Каковы бы ни были число, величина и направление этих сил, если каким-либо способом положение точки было изменено на бесконечно ма

лую величину, произведение равнодействующей на величину перемещения в ее направлении равно сумме произведений каждой силы на соответствующую ей величину. Величина, на которую точка перемещается в направлении силы, есть проекция прямой, соединяющей два положения точки, на направление силы. Эта величина считается отрицательной, если точка перемещается в направлении, обратном направлению силы.

Если точка свободна, то в состоянии равновесия равнодействующая всех сил равна нулю. Если это не так, равнодействующая сила должна быть перпендикулярна к поверхности или кривой, где находится эта точка, и тогда, если изменять положение точки на бесконечно малую величину, произведение равнодействующей на перемещение в ее направлении равно нулю. Таким образом, это произведение вообще равно нулю, независимо от того, точка свободна или связана с кривой или плоскостью. Итак, во всех случаях, когда имеет место равновесие, при изменении положения точки на бесконечно малую величину сумма произведений каждой силы на перемещение точки в ее направлении равна нулю, и равновесие продолжает существовать, если это условие выполнено.

Глава II О ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Покоящееся тело не может сообщить себе самому никого движения, так как не содержит в себе причины, побуждающей его двигаться в некотором направлении предпочтительнее, чем в другом. Если оно было подвергнуто действию какой-либо силы и затем предоставлено самому себе, оно движется непрерывно и равномерно в направлении действия этой силы, если пе встречает никакого сопротивления, т. е. в каждый момент его сила и направление его движения одинаковы. Это стремление матерпи сохранять свое состояние движения или покоя называется инерцией. В этом состоит первый закон движения тел.

Движение по прямой линии следует, очевидно, из того, что нет никакой причины, чтобы точка отклонялась скорее направо, чем налево от своего начального направления. Но равномерность ее движения не так очевидна. Поскольку природа действующей силы неизвестна, невозможно знать a priori, должна ли эта сила непрерывно сохраняться. Однако поскольку тело не может само себе сообщить движение, представляется, что оно равным образом не способно изменить уже полученное им движение, поэтому закон инерции, по меньшей мере, самый естественный и самый простой из всех, какие можно себе представить. К тому же, он подтверждается опытом. В самом деле, на Земле мы наблюдаем, что движения сохраняются тем дольше, чем меньше противодействующих им препятствий. Это приводит нас к мысли, что в отсутствие препятствий тела двигались бы вечно. Но инерция материи очевидна главным образом в небесных движениях, которые за много веков не претерпели заметных изменений. Поэтому мы будем рассматривать инерцию как общий закон природы и, если мы наблюдаем изменение в движении тела, будем предполагать, что оно вызвано действием посторонней причины.

При равномерном движении пройденный путь пропорционален времени. Но время, затрачиваемое на прохождение определенного пути, может быть больше или меньше в зависимости от движущей силы. Это различие породило идею скорости, которая при равномерном движении определяется отношением пройденного пути к затраченному на его прохождение времени. Чтобы не сравнивать между собой разнородные величины, такие как пространство и время, берут интервал времени, например секунду, за единицу времени. Подобным же образом выбирают единицу длины, такую как метр, и тогда пространство и время представляются отвлеченными числами, выражающими, сколько они заключают единиц своего рода, и их можно сравнивать между собой. Таким образом, скорость определяется отношением двух отвлеченных чисел, и ее единица есть скорость тела, пробегающего один метр в секунду. Приводя таким образом расстояние, время и скорость к отвлеченным числам, мы видим, что расстояние равно произведению скорости на время, которое в свою очередь равно расстоянию, деленному на скорость.

Так как сила определяется только через путь, который она заставляет тело пройти в определенное время, естественно взять этот путь для ее измерения. Но это предполагает, что несколько сил, одновременно и в одном направлении действующих на тело, заставят его пройти за единицу времени расстояние, равное сумме расстояний, которые заставили бы пройти каждая из них по отдельности, или, иначе говоря, сила пропорциональна сгсорости. A priori мы этого знать не можем, так как природа движущей силы нам неизвестна. Поэтому в этом вопросе мы снова должны обратиться к опыту, так как все, что не является необходимым следствием из того немногого, что мы знаем о природе вещей, есть для нас лишь результат наблюдения.

Сила может быть выражена бесконечным числом функций скорости, не вносящих противоречий. Так, например, можно предположить, что она пропорциональна квадрату скорости. При таком предположении легко определить движение точки, увлекаемой любым числом сил, скорости которых известны. Так, если отложить на направлениях этих сил от начальной точки отрезки, выражающие скорости, которые они сообщили бы по отдельности каждой материальной точке, и исходя из этой же точки отложить в тех же направлениях другие отрезки, относящиеся между собой как квадраты первых, то эти отрезки могли бы представить эти самые силы. Далее, складывая их, как было указано, получим как направление результирующей силы, так и выражающий ее отрезок. Из сказанного видно, как можно определить движение точки, какова бы пи была функция скорости, выражающая силу. Среди всевозможных математических функций исследуем ту, которая присуща природе.

На Земле мы наблюдаем, что тело, побуждаемое какой-нибудь силой, движется одинаковым образом, каков бы ни был угол, составленный направлением этой силы с направлением движения, общим для этого тела и для той части земной поверхности, где оно находится. Небольшое отклонение от этого правила очень заметно изменило бы продолжительность колебания маятника в зависимости от положения плоскости его колебаний. А опыт показывает, что во всех вертикальных плоскостях эта продолжительность в точности одинакова. На корабле, движение которого равномерно, подвижное тело под воздействием пружины, силы тяжести или любой другой силы движется относительно частей корабля одинаково, каковы бы ни были скорость корабля и направление его движения. Следовательно, можно установить как общий закон земных движений, что, если в системе тел, увлекаемых обнщм движением, к одному из них приложить некоторую силу, его относительное или видимое движение будет одним и тем же, каковы бы ни были общее движение системы и угол, составленный его направлением с направлением приложенной силы.

Из этого закона, предполагаемого строгим, вытекает, что сила пропорциональна скорости. Так, если представить себе два тела, с одинаковой скоростью движущихся по одной прямой, и к одному из них приложить силу, прибавляющуюся к первой, его скорость относительно другого тела будет такой же, как если бы первоначально оба тела были неподвижны. Ясно, что путь, пройденный телом под воздействием начальной силы и той, что к ней прибавлена, равен сумме путей, которые каждая из сил заставила бы тело пройти за это же время. А это предполагает, что сила пропорциональна скорости.

И наоборот: если сила пропорциональна скорости, относительные движения тел, движущихся под воздействием любых сил, останутся прежними, каково бы ни было их общее движение, потому что это движение, разложенное на три составляющие, параллельные трем неподвижным осям, заставляет увеличиваться на одну и ту же величину парциальные скорости каждого тела параллельно этим осям. А так как относительная скорость зависит только от разности парциальных скоростей, она будет той же, каково бы ни было общее движение всех тел. Поэтому, участвуя в движении системы тел, по наблюдаемым в ней явлениям невозможно судить о ее абсолютном движении. Вот что характеризует этот закон, неведение которого задержало познание истинной системы мира из-за того, что трудно было разобраться в относительных движениях тел, перемещающихся над Землей, увлекаемой двойным движением: вращением вокруг самой себя и обращением вокруг Солпца.

Ввиду исключительной малости самых значительных движений, которые мы можем сообщить телам, по сравнепиго с движепием, увлекающим их вместе с Землей, для того чтобы видимые движения системы тел были независимы от направления этого движения, достаточно, чтобы небольшое увеличение силы, приводящей в движение Землю, относилось к соответствующему увеличению скорости, как сами эти величины. Так, наш опыт только доказывает реальность этой пропорции, которая, если она имеет место независимо от скорости Земли, дала бы закон пропорциональности скорости и силы. Более того, она дала бы этот закон, если бы функция скорости, выражающая силу,’ состояла бы лишь из одного члена. Если бы скорость не была пропорциональна силе, пришлось

бы предположить, что в природе функция скорости, выражающая силу, образована из нескольких членов, что мало вероятно. Кроме того, надо было бы предположить, что скорость Земли в точности такова, чтобы удовлетворить упомянутому выше отношению, что мало правдоподобно. К тому же скорость Земли изменяется в разные времена года: она приблизительно на 1/30 больше зимой, чем летом. Это изменение делается еще значительнее, если, как все на это указывает, солнечная система движется в пространстве. Поэтому в зависимости от того, совпадает ли это поступательное движение с движением Земли или обратно ему, в аб~ солютном движении Земли должны получаться большие годичные неравномерности. А это должно было бы изменить пропорцию, о которой идет речь, и отношение приложенной силы к относительной скорости, которую она сообщает, если бы эти пропорция и отношение не были независимы от абсолютной скорости.

Все небесные явления подтверждают эти доводы. Скорость света, определенная по затмениям спутников Юпитера, складывается со скоростью Земли в точности по такому же закону, как закон пропорциональности силы и скорости, и все движения солнечной системы, вычисленные по этому закону, в точности совпадают с наблюдениями.

Итак, вот два закона движения, а именно, закон инерции и закон пропорциональности силы и скорости, которые получены благодаря наблюдениям. Они наиболее естественные и самые простые из всех, какие можно вообразить, и, несомненно, вытекают из самой природы материи. Но так как эта природа нам неизвестна, для нас эти законы — лишь только наблюденные факты, впрочем, единственные, которые механика заимствует из опыта.

Поскольку скорость пропорциональна силе, эти две величины могут быть выражены одна через другую. Поэтому на основании предыдущего можно получить скорость точки, увлекаемой любым числом сил, у которых известны направления и скорости.

Если точка подвергается действию постоянных сил, в своем непрерывно меняющемся движении она опишет кривую, вид которой зависит от действующих на нее сил. Чтобы его определить, надо рассмотреть элементы этой кривой, выяснить, как они рождаются одни из других и, исходя из закона изменения координат, установить их окончательные выражения. Это является задачей исчисления бесконечно малых, счастливое открытие которого доставило механике так много возможностей. Понятно, насколько полезно совершенствовать этот мощный инструмент человеческого разума.

Сила тяжести являет нам повседневный пример силы, действующей, по-видимому, беспрерывно. Правда, мы не знаем, не разделено ли ее действие неощутимо малыми промежутками времени, но поскольку при этой гипотезе явления были бы почти такими же, как и в случае совершенно непрерывного действия, геометры предпочли последнюю гипотезу как более удобную и простую. Изложим законы этих явлений.

Сила тяжести представляется действующей одинаково как на неподвижные, так и на движущиеся тела. В первое мгновение тело, предоставленное ее действию, приобретает бесконечно малую ступень скорости, во второе мгновение к ней прибавляется еще одна ступень скорости и так далее. Таким образом, скорость возрастает вместе со временем.

Если вообразить прямоугольный треугольник, одна сторона которого представляет время и увеличивается вместе с ним, другая сторона могла бы представлять скорость. Элемент поверхности этого треугольника, равный произведению элемента времени на скорость, будет представлять элемент расстояния, пройденного под действием силы тяжести. Это расстояние будет представлено всей площадью треугольника, которая, увеличиваясь как квадрат одной из его сторон, показывает, что в движении, ускоренном силой тяжести, скорости возрастают как время, и высоты, с которых тела падают из положения покоя, увеличиваются как квадраты времени или скорости. Поэтому если за единицу принять расстояние, на которое тело упадет за первую секунду, оно опустится на четыре единицы за 2 с, на девять единиц через 3 с и т. д. Таким образом, за каждую секунду тело пролетит расстояние, возрастающее как нечетные числа і, 3, 5, 7... и т. д.

Расстояние, которое тело прошло бы при постоянной скорости, приобретенной им к концу падения, за время, затраченное на это падение, будет равно произведению этого времени на скорость. Это произведение равно удвоенной поверхности треугольника. Итак, тело, двигающееся равномерно под влиянием приобретенной им скорости, за время, равное времени его падения, описала бы расстояние, вдвое большее, чем то, которое оно прошло при падении.

Отношение приобретенной скорости к времени постоянно для данной ускоряющей силы. Оно увеличивается или уменьшается в зависимости от величины этой силы и, следовательно, может служить для ее выражения. Так как удвоенное пройденное расстояние равно произведению времени на скорость, ускоряющая сила равна этому удвоенному расстоянию, разделенному на квадрат времени. Она также равна квадрату скорости, разделенному на удвоенный путь. Эти три способа выражения ускоряющей силы полезны при разных обстоятельствах. Они не дают абсолютных значений этих сил, а выражают лишь их взаимные отношения, что только и нужно для механики.

На наклонной плоскости действие силы тяжести разлагается на две составляющие: одна, перпендикулярная плоскости, уничтожается ее сопротивлением, другая, параллельная плоскости, относится к исходному значению силы тяжести как превышение одного конца плоскости над другим к ее длине. Следовательно, на наклонных плоскостях движение будет равномерно ускоренным, но скорости и пройденные расстояния будут находиться к скоростям и расстояниям, пройденным за то же время по вертикали, в том же отношении. Отсюда следует, что все хорды вертикальной окружности, сходящиеся к одному из концов ее вертикального диаметра, под влиянием силы тяжести описываются за то же время, что и этот диаметр.

• Тело, брошенное в направлении любой прямой, непрерывно от нее отклоняется, описывая вогнутую к горизонту кривую, к которой эта прямая является первой касательной. Движение тела, перенесенное на эту касательную вертикалыіыми линиями, равномерно, по оно ускоряется по вертикали в соответствии с приведенным нами законом. Таким образом, вертикали, построенные в каждой точке кривой и продолженные до пересечения с первой касательной, будут пропорциональны квадратам соответствующих отрезков этой касательной, что свойственно параболе. Если сила метания направлена вверх по вертикали, парабола совпадает с ней. Поэтому формулы параболического движения охватывают и ускоренные или замедленные движения по вертикали.

Таковы законы падения тяжелых тел, открытые Галилеем. Сегодня нам кажется, что их легко было открыть. Но поскольку они ускользнули от исследований философов, несмотря на явления, воспроизводившие их непрерывно, оказался необходимым редкий гений, чтобы распознать их в этих явлениях.

В первой книге мы уже видели, что материальная точка, подвешенная на одном конце невесомой прямой, противоположный конец которой закреплен неподвижно, образует простой маятник. Если этот маятник отклонить от вертикали, он стремится возвратиться к ней, и это стремление почти пропорционально отклонению, если отклонение незначительно. Представим себе два маятника одинаковой длины, одновременно отклоняющихся с очень малыми скоростями от вертикального положения. В первый момент они опишут дуги, пропорциональные этим скоростям. В начале второго момента, равного первому, скорости будут замедлены пропорционально описанным дугам и, следовательно, начальным скоростям. Значит, дуги, описанные за второй момент, также пропорциональны этим скоростям. То же произойдет в третий момент, в четвертый и т. д. Таким образом, в каждый момент скорости и дуги, отсчитанные от вертикального положения, будут пропорциональны исходным скоростям, и маятники одновременно придут к состоянию покоя. Затем они вернутся к вертикали ускоренным движением по тем же законам, по которым их скорость замедлялась, и одновременно достигнут ее с исходной скоростью. После этого они таким же образом качнутся по другую сторону от вертикали, и, не испытывая сопротивления, качались бы так бесконечно долго. Ясно, что размах их колебаний пропорционален начальной скорости, но время колебаний одно и то же и, следовательно, не зависит от размаха колебаний. Так как сила, ускоряющая или замедляющая маятник, не вполне точно соответствует дуге отклонения от вертикали, при малых колебаниях тяжелого тела, движущегося по дуге круга, эта изохронность является лишь приблизительной. Изохронность соблюдается в точности при движении маятника по кривой, на которой сила тяжести, разложенная параллельно касательной, пропорциональна дуге, отсчитанной от самой нижней точки, что немедленно дает ее дифференциальное уравнение. Гюйгенс, которому мы обязаны приложением маятника к часам, старался найти эту кривую и способ заставить маятник ее описывать. Он нашел, что это — циклоида, расположенная вертикально так, что ее вершина является самой низкой точкой. Чтобы заставить тело, подвешенное на конце нерастяжимой нити, описывать эту циклоиду, достаточно другой конец этой нити укрепить в общем начале двух других таких же циклоид, расположенных тоже вертикально, но в противоположном направлении, причем пить во время качания должна охватывать поочередно каждую из этих кривых. Как бы ни были остроумны эти исследования, опыт заставил предпочесть круговой маятник, как более простой и достаточно точный, даже для астрономии.25 Но теория разверток, или эволют, порожденная ими, оказалась очень важной по своим применениям к системе мира.

Период очень малых колебаний кругового маятника относится к времени, за которое тяжелое тело падает с высоты, равной двойной длине этого маятника, как полуокружность относится к диаметру. Таким образом, время падения вдоль малой дуги, ограниченной вертикальным диаметром, относится к времени падения вдоль этого диаметра, или, что то же самое, к хорде этой дуги, как четверть окружности относится к диаметру. Следовательно, прямая, проведенпая между двумя заданными точками, не является линией самого быстрого спуска от одной из них к другой. Поиски такой линии заинтересовали геометров, и они нашли, что это циклоида, начало которой расположено в самой высокой точке.

Длина простого маятника, отбивающего секунды, относится к удвоенной высоте, с которой падают тела под действием силы тяжести в первую секунду их падения, как квадрат диаметра относится к квадрату окружности. Так как эту длину можно измерить с большой точностью, посредством этой теоремы можно получить время падения тел с определенной высоты значительно точнее, чем путем прямых опытов.26 В первой книге указывалось, что очень точные опыты дали длину секундного маятника 27 в Париже, равную 0.741877 м. Отсюда следует, что сила тяжести заставляет тело за первую секунду падать на 3.66107 м. Этот переход от колебательного движения, период которого можно с большой точностью определять, к прямолинейному движению тяжелых тел является остроумнейшим наблюдением, которым мы обязаны Гюйгенсу.

Продолжительности очень малых колебаний маятников разной длины, движимых одной и той же силой тяжести, относятся как корни квадратные из их длины. Если же маятники одинаковой длины, а силы тяжести различны, продолжительности колебаний обратны квадратным корням из сил тяжести.

На основании этих теорем было определено изменение силы тяжести на поверхности Земли и на вершинах гор. Наблюдения маятников позволили также узнать, что сила тяжести не зависит ни от поверхности, ни от формы тел, но что она проникает в самые глубокие их части и стремится сообщить им одновременно одинаковые скорости. Чтобы в этом убедиться, Дьютон заставлял колебаться большое число тел одинакового веса, но разной формы и из разных материалов, помещая их в одну и ту же емкость, чтобы сопротивление воздуха было одинаковым. Несмотря на всю точность, с которой производились им эксперименты, он не заметил ощутимой разницы в длине простых секундных маятников, выведенной из продолжительности колебания этих тел. Отсюда следует, что при отсутствии сопротивления качанию их скорости, достигнутые под влиянием силы тяжести за одинаковое время, равны между собой.

В круговом движении мы имеем еще один пример непрерывно действующей силы. Так как движение материи, предоставленной самой себе, равномерно и прямолинейно, ясно, что тело, движущееся по окружности, непрерывно стремится удалиться от центра по касательной. Усилие, которое оно для этого делает, называется центробеоюной силой, а центральной, или центростремительной, силой называют всякую силу, направленную к центру. В круговом движении центростремительная сила равна и прямо противоположна центробежной. Она непрерывно стремится приблизить тело с окружности к центру, и за очень короткий промежуток времени ее действие измеряется синусом-верзусом малой описанной дуги.

Учитывая сказанное, можно сравнить силу тяжести с центробежной силой, вызванной вращением Земли. На экваторе тела вследствие этого вращения за каждую секунду времени описывают дугу 40.сс1095 f 12."9955] экваториальной окружности Земли. Так как радиус экватора равен почти в точности 6 376 606 м, синус-верзус дуги равен 0.0126559 м. За 1 с сила тяжести на экваторе заставляет тела падать на 3.64930 м; центростремительная сила, необходимая, чтобы удержать тела на поверхности Земли, и, тем самым, центробежная сила, обусловленная ее вращением, относится к силе тяжести на экваторе как единица к 288.4. Центробежная сила уменьшает силу тяжести, и на экваторе тела падают под действием только разности этих двух сил. Поэтому, называя гравитацией полпое притяжение, или силу тяжести, не уменьшенную центробежной СИЛОЙ, получим, что на экваторе центробежная сила с большим приближением равна 1/289 гравитации. Если бы Земля вращалась в 17 раз быстрее, дуга, описанная за 1 с, была бы в 17 раз больше, ее синус-верзус был бы в 289 раз больше, центробежная сила была бы в этом случае равна гравитации и тела на земном экваторе потеряли бы вес.

Вообще, ускоряющая постоянная сила, действующая всегда в одном направлении, равна удвоенному пути, который она заставляет описать тело, разделенному на квадрат времени. Всякая ускоряющая сила в очень коротком интервале времени может считаться постоянной и действующей в одном направлении. Путь, который центростремительная сила заставляет тело описывать при круговом движении, равен синусу-верзусу описанной малой дуги, и этот последний почти точно равен квадрату дуги, разделенному на диаметр. Поэтому выражение этой силы представляется квадратом описанной дуги, деленным на квадрат времени и на радиус окружности. Дуга, разделенпая на время, равна скорости тела, и, следовательно, как центростремительная, так и центробежная сила равпы квадрату скорости, разделенному на радиус.

Сопоставив этот вывод с тем, к которому мы пришли раньше и в соответствии с которым сила тяжести равна квадрату достигнутой скорости, разделеппой на удвоенное расстояние, пройденное по вертикали, мы увидим, что центробежная сила равна силе тяжести, если скорость вращающегося тела равна скорости, приобретаемой весомым телом, падающим с высоты, равной половине радиуса описываемой окружности.

Скорости нескольких тел, двигающихся по окружностям, равны периметрам этих окружностей, деленным на время обращения. Окружности относятся друг к другу как их радиусы. Следовательно, квадраты скоростей относятся как квадраты радиусов, деленные на квадраты времен обращения. Поэтому центробежные силы относятся между собой как радиусы окружностей, деленные на квадраты времен обращения. Отсюда следует, что на разных параллелях Земли центробежные силы, вызванные ее вращательным движением, пропорциональны радиусам этих паралелей.

Эти прекрасные теоремы, выведенные Гюйгенсом, привели Ньютона к общей теории движения по кривым и к закону всемирного тяготения.

Тело, описывающее некоторую кривую, стремится отклониться от нее по касательной; всегда можно вообразить окружность, проходящую через два смежных элемента28 этой кривой и называемую оскулирующей окружностью. В два последовательных отрезка времени тело движется по этой окружности. Следовательно, его центробежная сила равна квадрату скорости, разделенному на радиус этой оскулирующей окружности, но ее положение и радиус непрерывно изменяются.

Если кривая описана под действием силы, направленной к неподвижной точке, ее можно разложить на две, из которых одна паправлена по оскулирующему радиусу, а другая — по элементу кривой. Первая из них уравновешивает центробежную силу, вторая — увеличивает или уменьшает скорость тела, и поэтому его скорость непрерывно изменяется. Но она всегда такова, что площади, описанные радиусом-вектором вокруг центра действия силы, пропорциональны времени. И наоборот, если площади, описанные радиусом-вектором вокруг неподвижной точки, возрастают как время, сила, заставляющая их описывать, направлена постоянно к этой точке. Эти зависимости, фундаментальные для теории системы мира, легко доказываются следующим образом.

Можно предположить, что ускоряющая сила действует только в начале каждого отрезка времени, в течение которого движение тела равномерно. Тогда радиус-вектор опишет маленький треугольник. Если бы сила перестала действовать в следующий отрезок времени, радиус-вектор описал бы в этот второй отрезок времени новый треугольник, равный первому, поскольку вершины этих треугольников находятся в неподвижной точке — центре действия силы, а их основания, расположенные на одной прямой, равны, как описанные с. одинаковыми скоростями в равные промежутки времени. Но в начале нового отрезка времени ускоряющая сила сочетается с касательной силой, действующей на тело, и заставляет его описать диагональ параллелограмма, стороны которого представляют эти силы. Треугольник, описываемый радиусом-вектором под действием этой комбинированной силы, равен тому, который был бы описан в отсутствие ускоряющей силы, так как эти два треугольника имеют общим основанием радиус-вектор конца первого отрезка времени, а их вершины находятся на прямой, параллельной этому основанию. Поэтому площади, описанные радиусом-вектором, равны в обоих последовательных и равных отрезках времени. Следовательно, сектор, описанный этим радиусом, возрастает как число таких отрезков времени или как время. Ясно, что это будет только при условии, если ускоряющая сила направлена к неподвижной точке. В противном случае рассматриваемые нами треугольники не были бы одинаковой высоты. Таким образом, пропорциональность площадей времени доказывает, что ускоряющая сила постоянно направлена к началу радиуса-вектора.

В этом случае, если вообразить очень малый сектор, описанный за очень короткое время, из начала дуги этого сектора провести касательную к кривой и продолжить до этой касательной радиус, проведенный из центра действия силы к другому концу дуги сектора, то часть радиуса, заключенная между дугой и касательной, будет, очевидно, расстоянием, пройденным под влиянием центростремительной силы. Удвоив это расстояние и разделив результат на квадрат времени, получим выражение силы. А так как сектор пропорционален времени, центростремительная сила будет как бы частью радиуса, заключенной между кривой и касательной, разделенной на квадрат сектора. Строго говоря, центростремительная сила в разных точках кривой не пропорциональна этой дроби, но она приближается к ней по мере уменьшения секторов так, что в пределе равна ей в точности. Дифференциальный анализ дает этот предел в виде функции радиуса, когда форма кривой известна, и тогда получают функцию расстояния, которому пропорциональна центростремительная сила.

Хотя закон действия силы известен, определение кривой, которую она заставляет описывать, все же представляет большие трудности. Но каковы бы ни были силы, приводящие в движение тело, предполагаемое свободным, легко следующим образом написать дифференциальные уравнения его движения. Вообразим три неподвижпые и взаимно перпендикулярные оси, относительно которых для некоторого момента определены три координаты рассматриваемого тела. Разлагая каждую из действующих на него сил на три других, параллельных этим же осям, и умножив равнодействующую всех сил, параллельных одной из координатных осей, на элемент времени ее действия, получим приращение скорости тела, параллельное этой координате. Эта скорость может быть приравнена к элементу координаты, разделенному на элемент времени, так что дифференциал частного от этого деления равен предыдущему произведению. Рассмотрение двух других координат дает еще два подобных равенства. Таким образом, определение движения тела становится задачей чистого анализа, который сводится к интегрированию этих дифференциальных уравнений.

Вообще, если положить, что элемент времени постоянен, вторая разность каждой координаты, разделенная на квадрат этого элемента, представит силу, которая, будучи приложена к точке в обратном направлении, уравновесила бы силу, действующую по этой координате. Если умножить разность этих сил на произвольное изменение координаты и сложить три подобных произведения, относящихся к трем координатам, то, по условию равновесия, их сумма будет равна нулю. Если тело свободно, изменения всех трех координат будут произвольными, и, приравняв коэффициенты при каждой из них нулю, получим три дифференциальных уравнения

движения точки. Но если точка не свободна, между тремя координатами возникают одна или две зависимости, которые дадут такое же число уравнений, связывающих произвольные изменения координат. Поэтому, исключив с их помощью столько же этих изменений, мы приравняем нулю коэффициенты остающихся изменений и получим дифференциальные уравнения движения, которые в сочетании с соотношениями координат определят положение точки для любого момента.

Интегрирование этих уравнений нетрудно, если сила направлена к неподвижному центру. Но часто природа сил делает это интегрирование невозможным. Однако рассмотрение дифференциальных уравнений приводит к некоторым, интересным принципам механики. Например, дифференциал квадрата скорости точки, подвергнутой действию ускоряющих сил, равен удвоенной сумме произведений каждой силы на малый отрезок, на который точка подвигается в направлении этой силы. Отсюда легко заключить, что скорость, достигнутая весомым телом вдоль некоторой кривой или изогнутой поверхности, такова, как если бы оно вертикально падало с той же высоты.

Многие философы, пораженные порядком, господствующим в природе, и ее плодовитостью в создании явлений, пришли к мысли, что она всегда приходит к своей цели самым простым путем. Распространяя этот взгляд на механику, они искали в ней экономию, которую соблюдает природа в использовании сил и времени. Птолемей узнал, что отраженный свет проходит из одной точки в другую по самому короткому пути и, следовательно, в самое короткое время, полагая скорость световых лучей неизменной. Ферма, один из самых великолепных гениев, которыми гордится Франция, обобщил этот принцип, распространив его на преломление света. Оп предположил, что свет проходит из точки, взятой вне прозрачной среды, в точку, находящуюся внутри ее, за самое короткое время. Затем, считая очень вероятным, что скорость света должна быть меньше в этой среде, чем в пустоте, он искал, каков будет при этом предположении закон преломления света. Приложив к этой проблеме свой прекрасный метод максимумов и минимумов, который надо рассматривать как истинный зародыш дифференциального исчисления, он нашел в согласии с опытом, что синусы углов падения и преломления должны быть в постоянпом отношепии, большем единицы. Счастливый способ, которым Ньютон вывел это отношение из притяжения сред, навел Мо-пертюи на мысль, что скорость света в прозрачных средах увеличивается и что, таким образом, вопреки утверждениям Ферма, не сумма частных от деления расстояний, пройденных в пустоте и в среде, на соответствующие скорости, а сумма произведений этих величин должна быть минимальна. Эйлер распространил это предположение на непрерывно изменяющиеся движения и доказал разными примерами, что среди всех кривых, какие может описать тело, двигаясь из одной точки в другую, оно всегда выбирает ту, в которой интеграл произведения его массы на скорость и на элемент кривой минимален. Таким образом, скорость точки, движущейся по кривой поверхности и не побуждаемой никакой силой, постоянна; точка переходит из одного положения в другое по самой короткой линии на этой поверхности. Вышеупомянутый интеграл назвали действием тела, а совокупность подобных интегралов, относящихся к каждому телу некоторой системы, действием системы. Эйлер установил, что это действие всегда минимально, так что экономия природы сводится к его сбережению. В этом заключается принцип наименьшего действия, настоящим изобретателем которого надо считать Эйлера, и который затем был выведен Лагранжем из основных законов движения. Этот принцип по существу есть лишь весьма любопытный результат этих законов, которые, как мы уже видели, наиболее естественны и самые простые из всех, какие можно вообразить, и которые поэтому кажутся вытекающими из самого существа материи. Он годится для всех математически возможных зависимостей между силой и скоростью, если в эти зависимости вместо скорости подставлять функцию скорости, через которую выражена сила. Поэтому принцип наименьшего действия' не следует рассматривать как конечную причину. Этот принцип не только не породил законы движения, но даже не способствовал их открытию, без которого все еще спорили бы о том, что следует понимать под принципом наименьшего действия в природе.

Глава III О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Самый простой случай равновесия нескольких тел — это равновесие двух материальных точек, сталкивающихся с равными, но противоположными скоростями. Их взаимная непроницаемость — свойство материи, в силу которого два тела не могут в одно и то же время занимать одно и то же место, уничтожает, очевидно, их скорости и приводит эти тела в состояние покоя. Но каково будет в случае равновесия отношение скоростей к массам, если сталкиваются два тела с разными массами и с взаимно противоположными скоростями? Чтобы разрешить эту проблему, вообразим систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на одной прямой и двигающихся с некоторой общей скоростью в одном направлении. Кроме того, представим себе другую систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на той же прямой и перемещающихся тоже с общей скоростью в противоположном направлении. Столкнувшись, обе системы приходят в равновесие. Ясно, что если бы первая система состояла только из одной материальной точки, каждая точка второй системы погашала бы при столкновении часть скорости первой системы, равную скорости второй системы. Следовательно, в рассматриваемом случае равновесия, скорость ударяющей точки должна быть равной произведению скорости второй системы на число ее точек. В результате первую систему можно заменить одной точкой, придав ей скорость, равную этому произведению. Подобным же образом вторую систему можно заменить материальной точкой со скоростью, равной скорости первой системы, умноженной на число ее точек. Так, вместо двух систем, мы получим две точки, которые уравновесятся противоположными скоростями, из которых одна будет произведением скорости первой системы на число ее точек, а вторая — произведением скорости второй системы на число ее точек. В случае равновесия эти произведения должны быть одинаковы.

Масса тела равна сумме его материальных точек. Произведение массы на скорость называют количеством движения, или еще силой тела. Для равновесия двух тел или двух систем материальных точек, сталкивающихся в противоположных направлениях, количества движения, или противоположные силы тела, должны быть равны и, следовательно, их скорости должны быть в обратном отношении к массам.

Очевидно, что две материальные точки могут действовать друг на друга только по соединяющей их прямой. Действие первой из них, направленное на вторую, сообщает ей некоторое количество движения. Можно представить себе, что вторая точка еще раньше, чем на нее подействовала первая, находилась под воздействием этого количества и еще другого количества движения, равного ему, но противоположно направленного. Тогда действие первого тела сведется к уничтожению этого последнего количества движения. Но для этого оно должно затратить равное и противоположное количество движения, которое будет уничтожено. Вообще, мы видим, что при взаимодействии тел противодействие всегда равно и противоположно действию. Мы видим еще, что это равепство вовсе не предполагает наличия в материи какой-то особой силы. Оно вытекает из того, что одно тело не может приобрести движение, не отняв его у другого, подобно тому, как один сосуд наполняется по мере расхода жидкости в другом, соединенном с ним сосуде.

Равенство действия противодействию проявляется во всех явленнях природы. Железо притягивает магнит точно так же, как магнит притягивает железо. То же самое наблюдается в электрическом притяжении и отталкивании и даже в действии сил, присущих живым существам; так как, каков бы ни был двигательный принцип человека и животных, через реакцию материи они всегда испытывают действие силы, равной и противоположной той силе, которую они этой материи сообщают; и в этом смысле они подвержены действию тех же законов, что и неживые тела.

Обратная пропорциональность скоростей массам в случае равновесия служит для определения отношения масс различных тел. У однородных тел массы пропорциональны их объемам, измерению которых учит геометрия. Но все тела, как мы знаем, не имеют одинаковых свойств, и существующее между ними несходство либо в составляющих их молекулах, либо в числе и величине пор, или промежутков, которые разделяют эти молекулы, приводит к очень большим различиям в массах этих тел, заключенных в одинаковых объемах. В таких случаях геометрии оказывается недостаточно, чтобы определить отношения их масс, и становится необходимым прибегнуть к механике.

Если представить себе два шара из разных материалов и менять их диаметры до тех пор, пока движимые с равными и противоположными скоростями они не придут в состояние равновесия, можно быть уверен

ным, что тогда они будут включать одинаковое число материальных точек и, следовательно, будут иметь одинаковые массы. Таким образом, получаем отношение объемов этих веществ к равным массам. Затем с помощью геометрии получаем отношение масс двух любых объемов одинакового вещества. Но применение этого метода было бы очень трудным при многочисленных сравнениях, которые постоянно требуются для нужд коммерции. К счастью, природа предлагает нам — через свойство тяжести предметов — очень простой способ сравнивать их массы.

В предыдущей главе мы отмечали, что каждая материальная точка в одном и том же пункте на Земле под действием силы тяжести стремится двигаться с одинаковой скоростью. Сумма этих стремлений и представляет вес тела. Таким образом, вес пропорционален массе. Отсюда следует, что если два тела, подвешенные на концах нити, перекинутой через блок, оказываются уравновешенными, когда части нити по обе стороны блока равны по длине, массы этих тел равны. Стремясь под влиянием силы тяжести двигаться с одинаковой скоростью, они действуют одно на другое, как если бы они столкнулись с равными и противоположными скоростями. Два тела можно привести в равновесие еще с помощью весов, у которых плечи коромысла и чашки строго равны между собой, что позволит быть уверенным в равенстве их масс. Таким образом, отношение масс различных тел можно получить с помощью точных и чувствительных весов и большого числа одинаковых гирек, определяя их число, необходимое для уравновешивания этих масс.

Плотность тела зависит от числа его материальных точек, заключенных в данном объеме. Она пропорциональна отношению массы к объему. Вещество, не имеющее пор, имело бы самую большую плотность из всех возможных. Сравнивая с ним плотность других тел, можно было бы получить количество заключенной в них материи. Но так как подобного вещества мы не знаем, то можем получить только относительные плотности тел. Эти плотности относятся между собой как веса соответствующих тел, взятых в одинаковом объеме, так как веса пропорциональны массам. Поэтому, взяв за единицу плотность какого-либо вещества при постоянной температуре, например максимум плотности дистиллированной воды, получим плотность тела, равную отношению его веса к весу такого же объема воды, приведенного к этому максимуму. Это отношение называется удельным весом.

Во всем сказанном, как будто,, предполагалось, что материя однородна и тела различаются только формой и величиной их пор и составляющих эти тела молекул. Между тем возможно, что есть существенные различия в свойствах самих молекул, и тому немногому, что мы зпаем о материи, не противоречит предположение, что небесное пространство заполнено флюидом, лишенным пор, но в то же время таким, что он оказывает лишь неощутимое сопротивление движению планет. Это позволило бы примирить неизменность этих движений, доказанную наблюдаемыми явлениями, с мнением тех, кто не считает возможным существование пустоты. Но это безразлично для механики, изучающей только протяженность тел и их движение. Поэтому можно, не боясь впасть в ошибку,

принять однородность элементов материи при условии, что под одинаковыми массами подразумеваются массы, которые, будучи подвергнуты действию равных, но противоположных сил, приходят в равновесие.

В теории равновесия и движения тел отвлекаются от числа и формы нор, которыми они пронизаны. Можно объяснить различие их относительных плотностей, предположив, что тела образованы из более или менее плотных материальных точек, совершенно свободных в жидкости и газе, соединенных между собой лишенными массы несгибаемыми прямыми в твердых телах и гибкими и растяжимыми — в телах эластических и мягких. Ясно, что при этих предположениях тела казались бы такими, какими мы их воспринимаем.

Условия равновесия системы тел могут всегда быть определены по закону сложения сил, изложенному в первой главе этой книги; ибо можно представить силу, действующую на каждую материальную точку, приложенной к месту встречи направления ее действия с направлениями других сил, которые ее уничтожат или, сложившись с нею, образуют равнодействующую силу, которая в случае равновесия погасится неподвижными точками системы. Рассмотрим, например, две материальные точки, расположенные на концах несгибаемого рычага, и предположим, что на них воздействуют силы, направленные в плоскости, проходящей через этот рычаг. Если принять, что эти силы сосредоточены в точке встречи их направлений, равнодействующая сила для равновесия должна проходить через точку опоры — единственную точку, которая может ее уничтожить. По закону сложения сил, две составляющие должны быть противоположны перпендикулярам, проведенным из точки опоры на их направления.

Если вообразить два тяжелых тела, расположенных на концах несгибаемого рычага, массу которого можно считать бесконечно малой по сравнению с массой этих тел, можно положить, что направления, параллельные силе тяжести, соединяются в бесконечности. В этом случае силы, действующие на каждое из этих двух тел, или, что то же, их веса, для равновесия должны быть противоположны направлениям перпендикуляров, проведенных из точки опоры на направления этих сил. Эти перпендикуляры пропорциональны плечам рычага. Таким образом, веса двух уравновешенных тел обратно пропорциональны плечам рычага, с которыми они связаны.

Поэтому очень небольшой вес с помощью рычага и подобных ему приспособлений может уравновесить очень значительный вес, и таким способом можно поднять огромный груз, приложив лишь небольшое усилие. Но для этого надо, чтобы плечо рычага, к которому прилагается сила, было гораздо длиннее плеча, поднимающего тяжесть, и чтобы подъемная сила перемещалась на большем расстоянии, поднимая груз на малую высоту. При этом потеря во времени возмещается выигрышем в силе, что обычно имеет место в машинах. А часто бывает, что, располагая неограниченным временем, можно использовать лишь ограниченную силу. При других обстоятельствах, например если надо развить большую скорость, можно также использовать рычаг, прилагая силу к его более короткому плечу. Именно в возможности по мере надобности увеличивать массу или скорость подлежащих перемещению тел и состоит главное преимущество машин.

Рассмотрение рычага породило идею моментов. Моментом силы, заставляющей систему вращаться вокруг точки, называют произведение этой силы на расстояние от точки до направления действующей силы. Таким образом, в случае равновесия рычага, к концам которого приложены две силы, моменты этих сил по отношению к точке опоры должны быть равны и противоположны, или, что сводится к тому же, сумма моментов относительно этой точки должна быть равна нулю.

Проекция силы на проходящую через неподвижную точку плоскость, умноженная на расстояние точки от этой проекции, называется моментом силы, вращающей систему вокруг оси, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно этой плоскости.

Момент равнодействующей любого числа сил по отношению к точке или какой-либо оси равен сумме таких же моментов составляющих сил.

Так как можно предположить, что параллельные силы соединяются в бесконечности, их можно свести к равнодействующей силе, равной их сумме и параллельной им. Поэтому, разлагая каждую силу, действующую на систему тел, на две — одну, лежащую в плоскости, и другую, перпендикулярную к этой плоскости, — можно все силы, лежащие в этой плоскости, свести к одной равнодействующей, так же как и перпендикулярные ей силы — к другой равнодействующей. Всегда существует плоскость, проходящая через неподвижную точку, и притом такая, что равнодействующая сил, перпендикулярных этой плоскости, равна нулю или проходит через эту точку. В обоих этих случаях момент равнодействующей равен нулю по отношению к осям, начало которых лежит в этой точке, и момент сил системы относительно этих осей сводится к моменту равнодействующей, расположенной в плоскости, о которой идет речь. Ось, относительно которой этот момент максимален, перпендикулярна этой плоскости, и момент сил системы относительно оси, проходящей через неподвижную точку и составляющей некоторый угол с осью наибольшего момента, равен наибольшему моменту системы, умноженному на косинус этого угла, так что этот момент равен нулю для всех осей, расположенных в плоскости, перпендикулярпой оси наибольшего момента.

Сумма квадратов косинусов углов, образованных осью наибольшего момента с тремя любыми взаимно перпендикулярными осями, проходящими через неподвижную точку, равна единице. Поэтому квадраты трех сумм моментов сил относительно этих осей равны квадрату наибольшего момента.

Для равновесия системы жестко связанных между собой тел, могущей двигаться вокруг неподвижной точки, сумма моментов сил по отношению к любой оси, проходящей через эту точку, должна равняться нулю. Из предыдущего следует, что это имеет место, если эта сумма равна нулю по отношению к трем неподвижным взаимно перпендикулярным осям. Если в системе нет неподвижной точки, то для равновесия, кроме того, необходимо, чтобы три суммы сил, разложенные параллельно этим осям, каждая в отдельности, были равны нулю.

Рассмотрим систему весомых точек, жестко связанных между собой и отнесенных к трем взаимно перпендикулярным плоскостям, связанным с системой. Разлагая действие силы тяжести параллельно пересечениям этих плоскостей, можно все силы, параллельные одной и той же плоскости, свести к единой равнодействующей, параллельной этой плоскости и равной их сумме. Три полученные равнодействующие, соответствующие трем плоскостям, должны встретиться в одной точке, так как воздействия силы тяжести на разные точки системы параллельны и имеют единую равнодействующую, которую можно получить, складывая сперва две силы, затем их равнодействующую с третьей, равнодействующую трех сил с четвертой и т. д. Положение точки встречи по отношению к системе не зависит от наклона плоскостей к направлению силы тяжести, так как больший или меньший наклон меняет лишь значения трех равнодействующих, не изменяя их положения относительно плоскостей. Если эта точка неподвижна, все действия силы тяжести в системе уничтожатся во всех возможных ее положениях, которые она может принять, вращаясь вокруг этой точки, названной поэтому центром тяжести системы.

Представим себе, что положение этого центра и положения разных точек системы определены координатами, параллельными трем взаимно перпендикулярным осям. Так как действия сил тяжести равны и параллельны и их равнодействующая проходит через центр тяжести системы при любых ее положениях, то если предположить, что эта равнодействующая последовательно параллельна каждой из трех осей, равенство момента равнодействующей сумме моментов составляющих приводит к тому, что любая из координат этого центра, умноженная на полную массу системы, равна сумме произведений массы каждой точки на соответствующую ей координату. Таким образом, определение центра тяжести не зависит от самой тяжести, породившей мысль о нем. Рассмотрение этого центра применительно к системам весомых или невесомых тел, свободных или связанных между собой каким-либо образом, очень полезно в механике.

Обобщая теорему о равновесии точки, рассмотренную в конце первой главы, мы приходим к следующей теореме, которая заключает в наиболее общем виде условия равновесия системы материальных точек, движимых какими-либо силами.

Если изменить положение системы на бесконечно малую величину, так, чтобы не нарушились связи между ее частями, каждая материальная точка подвинется в направлении увлекающей ее силы на величину, равную части этого направления, заключенной между первым положением точки и перпендикуляром, опущенным из ее второго положения на это направление. Установив это, получим:

в состоянии равновесия сумма произведений каждой силы на величину перемещения в ее направлении каждой точки, к которой она прило-дісена, равна нулю. И обратно: если эта сумма равна нулю, каково бы ни было изменение системы, она находится в равновесии.

В этом заключается принцип возможных скоростей, открытый Жаном Бернулли. Но чтобы его использовать, надо произведения, о которых шла речь, относящиеся к точкам, которые при изменении положения системы перемещаются в направлении, противоположном действию приложенных к ним сил, взять с обратным знаком. К тому же надо помнить, что сила есть произведение массы материальной точки на скорость, которую она бы приобрела под действием этой силы, если бы была свободной.

Если положение каждой точки системы определять тремя прямоугольными координатами, сумма произведений каждой силы, действующей на точку, на величину ее перемещения при бесконечно малом перемещении всей системы выражается линейной функцией изменения координат точек системы. Эти изменения находятся между собой в отношениях, вытекающих из связи частей системы. Сводя с помощью этих отношений произвольные изменения к наивозможно меньшему числу, в предыдущей сумме, которая при равновесии системы должна равняться нулю, чтобы равновесие имело место при любом положении системы, нужно отдельно приравнять нулю коэффициент каждого из оставшихся изменений, что даст столько уравнений, сколько имеется таких произвольных изменений. Эти уравнения вместе с уравнениями, которые даются связью всех частей системы, будут включать все условия равновесия системы.

Существует два очень различных состояния равновесия. При одном из них, если немного нарушить равновесие, все тела системы совершают лишь небольшие колебания вокруг их начального положения. Такое равновесие называют устойчивым равновесием. Эта устойчивость абсолютна, если она имеет место при любых колебаниях системы, и относительна, если сохраняется только при колебаниях определенного рода. В другом состоянии равновесия тела, если их отклонили, удаляются все больше и больше от своего первоначального положения. Можно ясно представить себе эти два состояния равновесия, рассматривая эллипс, поставленный вертикально на плоскость. Если эллипс, находящийся в равновесии на своей малой оси, отклонить немного от этого положения, он стремится вернуться в исходное положение, делая колебания, которые вскоре погасятся трением и сопротивлением воздуха. Но если эллипс находится в равновесии на большой оси, то, однажды отклонившись от этого положения, он стремится отклониться все больше и в конце концов опрокидывается на свою малую ось. Таким образом, устойчивость равновесия зависит от свойства малых колебаний,. которые делает система вокруг положения равновесия, будучи каким-либо способом из него выведена. Чтобы определить в общем виде, каким образом устойчивые и неустойчивые состояния равновесия следуют одно за другим, рассмотрим замкнутую кривую, поставленную вертикально в положение устойчивого равновесия. Выведенная немного из этого положения, она стремится к нему вернуться. Это стремление изменяется по мере увеличения отклонения, и когда это стремление делается равным нулю, кривая оказывается в новом, но уже неустойчивом состояпии равновесия, потому что прежде чем прийти к этому положению, она стремилась вердуться к своему первоначальному положению. После этого второго положения стремление к первому положению и, следовательно, ко второму делается отрицательным до тех пор, пока оно снова не станет пулевым, и тогда кривая снова оказывается в устойчивом равновесии. Продолжая таким образом, мы видим, что состояния устойчивого и неустойчивого равновесия сменяются поочередно, подобно максимумам и минимумам ординат кривых. То же рассуждение легко распространить на различные состояния равновесия системы тел.

Глава IV О РАВНОВЕСИИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Характерным свойством как сжимаемых, так и несжимаемых жидкостей и газов является легкость, с которой каждая из их молекул подчиняется самому легкому давлению, испытываемому ею с одной стороны в большей степени, чем с другой. Поэтому, основываясь на этом свойстве, мы установили законы равновесия жидкостей и газов, считая их состоящими из бесконечного числа молекул, вполне подвижных относительно друг друга.

Из этой подвижности прежде всего следует, что сила, приложенная к молекуле, находящейся на свободной поверхности жидкости, должна быть перпендикулярна к этой поверхности, так как если бы она была к ней наклонена, то, разложив ее на две составляющие: одну — перпендикулярную к поверхности, а другую — параллельную ей, мы бы увидели, что молекула перемещается в направлении этой последней составляющей. Таким образом, сила тяжести перпендикулярна к поверхности стоячей воды, которая вследствие этого горизонтальна. По этой же причине давление, оказываемое каждой молекулой жидкости на поверхность, должно быть ей перпендикулярно.

Каждая молекула внутри жидкости или газа испытывает давление, которое в атмосфере измеряется высотой ртути в барометре и во всякой другой жидкости или газе может быть измерено подобным же образом. Если представить себе молекулу как бесконечно малую прямоугольную призму, то давление окружающей ее среды будет перпендикулярно ее граням, и, следовательно, она будет стремиться прийти в движение, перпендикулярное каждой грани из-за разности давлений, оказываемых этой средой на две ее противоположные грани. Из-за этих разностей давлений возникают три взаимно перпендикулярные силы, которые следует сложить с другими силами, действующими на молекулу. Нетрудно сделать вывод, что в состоянии равновесия дифференциал давления равен плотности молекулы жидкости, умноженной на сумму произведений каждой силы на элемент ее направления. Эта сумма является точным дифференциалом, если жидкость несжимаема и однородна. Этот важный результат впервые получен Клеро и был им опубликован в его прекрасной работе о фигуре Земли.

Когда силы являются результатом притяжения, они всегда определяются функцией расстояния от центров притяжения, и произведение каждой силы на элемент направления определяется точным дифференциалом. Поэтому плотность молекулы жидкости или газа должна быть функцией давления, так как дифференциал давления, разделенный на эту плотность, является точной разностью. Таким образом, все слои жидкости или газа, в которых давление постоянно, имеют одинаковую плотность на всем своем протяжении. Равнодействующая всех сил, приложенных к каждой молекуле на поверхности этих слоев, перпендикулярна к этой поверхности, вдоль которой скользила бы молекула, если бы эта равнодействующая была к ней наклонена. Эти слои были вследствие этого названы уровенными поверхностями.

Плотность молекулы атмосферного воздуха есть функция давления и температуры. Ее вес почти в точности является функцией высоты над поверхностью Земли. Если бы ее температура тоже была функцией этой высоты, уравнение равновесия атмосферы было бы дифференциальным уравнением, связывающим давление и температуру, и равновесие было бы возможно всегда. Но в природе в разных частях атмосферы температура зависит еще от широты, от присутствия Солнца и от тысячи других переменных или постоянных причин, которые должны создавать в этой большой массе воздуха движения, часто очень значительные.

В силу подвижности своих частей весомая жидкость может создавать давления, гораздо большие своего веса. Так, например, узкий столб воды, оканчивающийся широкой горизонтальной поверхностью, давит на основание, на котором эта поверхность находится, так же, как цилиндр воды такой же высоты и с таким же основанием. Чтобы лучше ощутить верность этого парадокса, представим себе неподвижный цилиндрический сосуд с горизонтальным подвижным дном. Предположим, что этот сосуд наполнен водой и его дно поддерживается уравновешивающей силой, равной и противоположной испытываемому им давлению. Ясно, что равновесие продолжало бы существовать, если бы часть воды затвердела и соединилась со стенками сосуда, поскольку равновесие системы тел не нарушится, если предположить, что некоторые из них объединились или соединились с неподвижными точками. Так можно создать бесчисленное множество сосудов различных форм, но с днищами и высотами, равными, соответственно, дну и высоте цилиндрического сосуда, в которых вода будет производить такое же давление на подвижное дно.

В общем случае, если жидкость действует только своим весом, давление, которое она создает на какую-либо площадь, равно весу столба этой жидкости, основание которого равно сжимаемой поверхности, а высота — расстоянию от ее центра тяжести до поверхности уровня жидкости.

Тело, погруженное в жидкость или газ, теряет часть своего веса, равную весу вытесненного им объема жидкости или газа. Так как до погружения тела окружающая жидкость (или газ) уравновешивала вес этого объема жидкости (или газа), который, не нарушая равновесия системы, мы можем себе представить затвердевшим, равнодействующая всех воз

действий жидкости (или газа) на эту массу должна уравновешивать ее вес и проходить через ее центр тяжести. Но совершенно ясно, что эти воздействия будут теми же, что и воздействия на тело, занимающее его место, и, таким образом, действие жидкости (или газа) уничтожает часть веса этого тела, равную весу вытесненной жидкости (или газа). Поэтому в воздухе тело весит меньше, чем в пустоте. Этой разницей, в большинстве случаев мало заметной, не следует пренебрегать при выполнении точных экспериментов.

С помощью весов, на одном конце коромысла которых подвешено тело, погружаемое в жидкость, можно точно измерить уменьшение его веса, происходящее при этом погружении, и определить его удельный вес или плотность по отношению к плотности жидкости. Удельный вес равен отношению веса тела в пустоте к его уменьшению при полном погружении в жидкость. Именно путем сравнения с максимумом плотности дистиллированной воды и были измерены удельные веса тел.

Чтобы тело, более легкое, чем жидкость, находилось в равновесии на ее поверхности, надо, чтобы его вес был равен весу объема вытесненной им жидкости. Кроме того, надо, чтобы центры тяжести этого объема жидкости и тела находились на одной вертикали, так как равнодействующая силы тяжести, действующей на все молекулы тела, проходит через его центр тяжести, а равнодействующая всех действий жидкости на это тело проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости. Эти равнодействующие, чтобы взаимно уничтожиться, должны располагаться на одной общей вертикали так же, как и центры тяжести. Но для устойчивости равновесия к двум предыдущим условиям необходимо добавить еще другие. Устойчивость можно всегда определить по следующему правилу.

Если провести сечение плавающего тела поверхностью жидкости и через центр тяжести этого сечения вообразить такую горизонтальную ось, чтобы сумма произведений каждого элемента сечения на квадрат его расстояния от этой оси была наименьшей по сравнению со всвхми другими горизонтальными осями, проведенными через эту точку, то равновесие устойчиво во всех направлениях, если эта сумма превосходит произведение объема вытесненной жидкости на высоту центра тяжести тела над центром тяжести этого объема. Это правило особенно важно при строительстве судов, которым следует дать достаточную устойчивость, необходимую для сопротивления волнам и ветру. В корабле ось, проведенная из кормы к носу, и есть та ось, по отношению к которой упомянутая сумма минимальна. Поэтому, используя это правило, легко определить его остойчивость.

Две жидкости, заключенные в один сосуд, располагаются таким образом, что более тяжелая занимает низ сосуда, и поверхность, которая их разделяет, горизонтальна.

Когда две жидкости (или два газа) сообщаются с помощью очень широкой изогнутой трубки, поверхность, разделяющая их, при состоянии равновесия почти горизонтальна. Их высоты над этой поверхностью обратны их удельным весам. Поэтому если предположить, что вся атмосфера имеет плотность, равную плотности воздуха при температуре тающего льда п сжата давлением в 76 сантиметров ртутного столба, ее высота оказалась бы равной 7963 м. Но так как плотность слоев атмосферы уменьшается по мере поднятия над уровнем моря, высота атмосферы гораздо больше.

Глава V О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Рассмотрим сначала действие двух материальных точек разной массы, которые, двигаясь по одной прямой, столкнулись между собой. Можно представить себе, что непосредственно перед соударением их движение разложено на одну общую скорость и две такие взаимно противоположные скорости, что, обладая только ими, эти точки уравновесились бы. Общая скорость двух точек не изменяется от их взаимодействия. Поэтому она сохранится и после столкновения. Для ее определения заметим, что количество движения двух точек в силу этой общей скорости, вместе с суммой количеств движения, вызванных уничтоженными скоростями, представляет сумму количеств движения перед соударением, если только количества движения взять с разными знаками, т. е. с противоположными скоростями. Но, по условию равновесия, сумма количеств движения, вызванных уничтоженными скоростями, равна нулю. Поэтому количество движения, вызванное общей скоростью, равно количеству, которое существовало вначале у обеих точек. Следовательно, эта скорость равна сумме количеств движения, разделенной на сумму масс.

Случай соударения двух материальных точек — чисто идеальный. Но с ним легко сопоставить случай соударения каких-либо двух тел, отметив, что если тела соударяются, двигаясь по прямой, проходящей через их центры тяжести перпендикулярно к поверхности их контакта, они действуют друг на друга так, будто их массы были сосредоточены в этих центрах. Поэтому движение передается между ними так же, как между двумя материальными точками, массы которых, соответственно, равны массам рассматриваемых тел.

В предыдущем примере предполагается, что после соударения оба тела должны иметь общую скорость. Можно понять, что это справедливо для мягких тел, у которых передача движения происходит постепенно, незаметными изменениями, так как очевидно, что с того момента, когда ударенное тело приобретает скорость ударяющего тела, всякое взаимодействие между ними прекращается. Но между двумя абсолютно твердыми телами соударение происходит мгновенно, и не представляется обязательным, чтобы после него их скорости были одинаковы. Их взаимная ненропицаемость требует только, чтобы скорость ударяющего тела была меньшей. В остальном она неопределенна. Эта неопределенность доказывает абсурдность гипотезы абсолютной твердости. В самом деле, в природе самые твердые тела, если и не упруги, то во всяком случае имеют некоторую неуловимую мягкость, которая делает их взаимные воздействия постепенными, хотя их продолжительность неощутима.

Когда тела абсолютно упруги, чтобы получить их скорость после соударения, нужно прибавить или вычесть из общей скорости, которую они получили бы, не будучи упругими, скорость, которую они приобрели бы или утратили в этом случае, так как совершенная упругость удваивает эти эффекты при упругой отдаче после вызванного ударом сжатия. Таким образом, скорость каждого тела после удара получают вычитанием его скорости перед ударом из удвоенной общей скорости.

Отсюда легко заключить, что сумма произведений масс на квадраты их скоростей остается одинаковой до и после соударения двух тел. Это же имеет место и при соударениях любого числа идеально упругих тел, при любом способе взаимодействия между ними.

Таковы законы передачи движения, подтверждаемые опытом и математически вытекающие из двух фундаментальных законов движения, которые мы изложили во второй главе этой книги. Многие философы пробовали их вывести, рассматривая конечные причины. Декарт, убежденный, что количество движения без учета его направления должно всегда оставаться неизменным во вселенной, вывел из этой ложной гипотезы ложные законы передачи движения. Они являются поучительным примером ошибок, которым подвергаются те, кто ищет разгадки законов природы по ее вымышленным свойствам.

Когда тело получает импульс в направлении, проходящем через его центр тяжести, все его части двигаются с одинаковой скоростью. Если же это направление проходит в стороне от этого центра, разные части тела получают неодинаковые скорости, и из-за этого неравенства возникает вращение тела вокруг его центра тяжести, в то время как сам этот центр уносится со скоростью, которую он бы принял, если бы направление импульса проходило через центр тяжести. Именно это мы имеем в случае Земли и других планет. Итак, чтобы объяснить двойное — вращательное и поступательное — движение Земли, достаточно предположить, что она вначале получила импульс, направление которого прошло на небольшом расстоянии от ее центра тяжести, расстоянии, которое при предположении, что эта планета однородна, равно приблизительно Ѵібо части ее радиуса. Бесконечно мало вероятно, чтобы все силы, сообщившие первоначальное движение планетам, их спутникам и кометам, точно прошли бы через их центры тяжести. Поэтому все эти тела должны вращаться вокруг самих себя. По подобной же причине Солнце, тоже имеющее вращательное движение, должно было получить импульс, который, не пройдя через его центр тяжести, уносит его в пространство вместе с планетной системой, если только импульс обратного направления не уничтожит это движение, что кажется невероятным.

Импульс, сообщенный однородной сфере в направлении, не проходящем через ее центр, заставляет ее непрерывно вращаться вокруг диаметра, перпендикулярного плоскости, проходящей через ее центр и через направление приложенной силы. Новые силы, увлекающие все ее точки, равнодействующая которых проходит через ее центр, не изменяют па

раллельность ее оси вращения. Поэтому ось вращешш Земли остается всегда почти точно параллельной самой себе при обращении вокруг Солнца; при этом не возникает необходимости предполагать, подобно Копернику, существование годичного движения полюсов Земли вокруг полюсов эклиптики.

Если тело имеет произвольную форму, его ось вращения может непрерывно изменяться. Исследование этих изменений при любых силах, действующих на тело, является наиболее интересной проблемой механики твердых тел вследствие ее связи с предварением равноденствий и с либрацией Луны.* Разрешая эту проблему, пришли к любопытному и очень полезному результату, а именно, в каждом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр тяжести, вокруг которых тело может равномерно и непрерывно вращаться, если оно не подвержено действию внешних сил. Поэтому эти оси названы главными осями вращения. Они обладают тем свойством, что сумма произведений силы каждой молекулы тела на квадрат ее расстояния до оси максимальна по отношению к двум из этих осей и минимальна относительно третьей.29 Если представить себе тело вращающимся вокруг оси, слегка наклоненной по отношению к одной из двух первых осей, мгновенная ось вращения тела отклонится от них на очень малую величину. Поэтому вращение будет устойчивым по отношению к этим двум первым осям и не будет устойчивым относительно третьей; малые отклонения от них мгновенной оси вращения вызовут большие колебания тела вокруг третьей оси.

Весомое тело или система тел любой формы, колеблясь относительно неподвижной горизонтальной оси, образуют сложный маятник. В природе нет других маятников. Простые маятники, о которых мы раньше говорили, представляют лишь чисто геометрические абстракции, служащие для упрощения предмета. Легко привести сложные маятники к простому, если у сложного маятника все части неподвижно связаны между собой. Если умножить длину простого маятника, продолжительность колебания которого равна продолжительности колебания сложного маятпика, на массу последнего и на расстояние от его центра тяжести до оси качания, произведение будет равно сумме произведений [массы] каждой молекулы сложного маятника на квадрат ее расстояния до той же оси. По этому правилу, найденному Гюйгенсом, опыты со сложными маятниками позволили узнать длину простого маятника, отбивающего секунды.

Представим себе маятник, делающий очень малые колебания в одной и той же плоскости, и предположим, что в тот момент, когда он максимально отклонился от вертикали, к нему приложили небольшую силу, перпендикулярную плоскости его качания. Он опишет эллипс вокруг вертикали. Чтобы представить себе его движение, можно вообразить фиктивный маятник, продолжающий свои колебания как и реальный маятник, но без приложенной к нему новой силы, тогда как реальный маятник качается, под воздействием этой силы по обе стороны идеального маятника, как если бы этот фиктивный маятник был неподвижен и вертикален. Таким образом, движение реального маятника является результатом двух простых колебаний, происходящих одновременно и перпендикулярно друг другу.

Этот способ анализа малых колебаний тел может быть распространен на любую систему. Если предположить, что система выведена из состояния равновесия очень малыми импульсами и затем ей сообщены еще новые импульсы, она будет колебаться по отношению к последовательным состояниям, которые она приняла в силу первых импульсов, таким же образом, каким она колебалась бы по отношению к состоянию своего равновесия, как если бы в этом состоянии ей были сообщены только новые импульсы. Очень малые колебания системы тел, как бы они ни были сложны, могут поэтому рассматриваться как сформированные из простых колебаний, в точности подобных колебаниям маятника. В самом деле, если представить себе систему первоначально в состоянии покоя и затем очень незначительно выведенную из состояния равновесия так, чтобы сила, действующая на каждое тело, стремилась вернуть его в положение, которое оно занимало в этом состоянии, и, кроме того, была пропорциональна расстоянию тела от этой точки, то ясно, что это будет иметь место во время колебания системы, и в каждый момент скорости разных тел будут пропорциональны их расстояниям от положения равновесия. Поэтому все тела одновременно придут в это положение и будут колебаться как простой маятник. Но предположенное нами нарушение равновесия системы — не единственно возможное. Если отдалить одно из тел от его положения равновесия и искать положения других тел системы, которые удовлетворяли бы предыдущим условиям, мы придем к уравнению, степень которого равна числу тел системы, подвижных относительно друг друга. Для каждого тела это дает столько видов простых колебаний, сколько имеется тел. Представим себе, что у системы — колебания первого вида, и в некоторый момент мысленно все тела отдалим от их положений, пропорционально величинам, соответствующим колебаниям второго вида. В силу сосуществования колебаний система будет колебаться но отношению к последующим состояниям, которые она имела бы при колебаниях первого вида, так же, как если бы она имела колебания только второго вида вокруг своего равновесного состояния. Ее движение, таким образом, будет сформировано из двух видов колебаний. Подобным же образом с этим движением можно скомбинировать третий вид колебаний и, продолжая комбинировать все эти виды колебаний самым общим способом, путем синтеза составить все возможные движения системы, лишь бы они были очень малы. И, наоборот, путем анализа можно разложить движения на простые колебания. Отсюда следует простой способ распознавания абсолютной устойчивости равновесия системы тел. Если во всех положениях, относящихся ко всем видам колебаний, силы стремятся возвратить тела в состояние равновесия, это состояние будет устойчивым. Оно таким не будет или будет иметь только относительную устойчивость, если в некоторых из положений системы силы стремятся отдалить тела от положения равновесия.

Ясно, что этот способ анализа очень малых движений системы тел может быть распространен даже на жидкости и газы, колебания которых являются результатом простых, одновременно существующих и часто бесчисленных колебаний.

В распространении волн мы имеем наглядный пример сосуществования очень малых колебаний. ЕсЛи в некоторой точке возбудить поверхность стоячей воды, мы увидим, как формируются п распространяются от этой точки круговые волны. Возбуждая поверхность в другой точке, мы создадим новые волны, которые смешиваются с первыми. Они накладываются на поверхность, возмущенную первыми волнами, как расположились бы на этой поверхности, если бы она была спокойной, так что их можно хорошо отличить в смеси волн. То, что глаз различает в случае волн на воде, ухо распознает в звуках, или колебаниях воздуха, которые распространяются одновременно, не изменяясь, и очень хорошо различимы между собой.

Принцип сосуществования простых колебаний, установленный Даниилом Бернулли, является одним из тех общих результатов, которые пленяют воображение той легкостью, с которой они позволяют ему представлять явления и их последовательные изменения. Он легко выводится математически из аналитической теории малых колебаний системы тел. Эти колебания зависят от дифференциальных линейных уравнений, полные интегралы которых представляются суммой частных интегралов. Таким образом, простые колебания накладываются одно на другое и образуют движение системы, как выражающие их частные интегралы складываются вместе, чтобы образовать полный интеграл. Таким способом в явлениях природы интересно прослеживать интеллектуальные истины анализа. Это соответствие, многочисленные примеры которого являет нам система мира, составляет одно из самых больших очарований математического мышления.

Естественно желание привести к одному основному принципу законы движения тел, подобно тому, как законы их равновесия были сведены в едином принципе возможных скоростей. Для этого рассмотрим движение системы тел, воздействующих друг на друга, но не подверженных действию ускоряющих сил. Их скорости изменяются в каждый момент. Но можно представить себе каждую из этих скоростей в некоторый момент составленной из скорости, действующей в следующий момент, и другой скорости, которая должна уничтожиться в начале этого второго момента. Если бы уничтоженная скорость была известна, было бы легко, по закону разложения сил, вывести скорость тел во второй момент; однако известно, что если бы тела двигались только под воздействием этих уничтоженных скоростей, они пришли бы во взаимное равновесие. Такпм образом, законы равновесия дадут соотношения утраченных скоростей, и из этих соотношений будет легко вывести оставшиеся скорости и их направления. Так, с помощью анализа бесконечно малых можно получить последовательные изменения движения системы и ее положение на любой момент.

Ясно, что если тела подвержены действию ускоряющих сил, всегда можно применить те же разложения скоростей. Но тогда должно иметь место равновесие между уничтоженными скоростями и именно этими силами.

Этот способ приведения законов движения к законам равновесия, которым мы обязаны главным образом Даламберу, является общим и очень ясным. Можно было бы удивляться, что он ускользнул от геометров, занимавшихся динамикой раньше Даламбера, если бы не было известно, что самые простые идеи почти всегда последними приходят человеческому уму.

Оставалось еще объединить изложенный нами принцип с принципом возможных скоростей, чтобы придать механике все то совершенство, на которое она способна. Это сделал Лагранж, и таким путем свел исследование движения любой системы тел к интегрированию дифференциальных уравнений. Этим заканчивается задача механики, и завершить решение проблемы придется чистому анализу. Вот самый простой способ составления дифференциальных уравнений движения некоторой системы тел.

Если вообразить три взаимно перпендикулярные неподвижные оси и в некоторый момент разложить скорости каждой материальной точки системы тел на три другие, параллельные этим осям, можно рассматривать каждую отдельную скорость как равномерную в этот момент. Затем, в конце момента, можно представить себе эту точку под воздействием трех скоростей, параллельных одной из осей, а именно: ее скорости в этот момент, небольшого изменения, которое скорость получает в следующий момент, и этого же изменения, приложенного в обратном направлении. Две первые из этих скоростей существуют в следующий момент. Третья должна быть уничтожена силами, увлекающими точку, и действием других точек системы. Таким образом, полагая, что мгновенные изменения частных скоростей каждой точки системы приложены к этим точкам в обратном направлении, мы получим систему, которая в силу этих изменений и действующих на нее сил должна находиться в равновесии. Уравнения этого равновесия получаются с помощью принципа возможных скоростей. Комбинируя их с уравнениями, связывающими части системы, получим дифференциальные уравнения движения каждой из ее точек.

Ясно, что подобным же способом можно привести и законы движения жидкостей и газов к законам их равновесия. В этом случае условия, относящиеся к связи между частями системы, сводятся к тому, чтобы объем любой молекулы оставался неизменным, если жидкость несжимаема, и чтобы он зависел от давления по заданному закону, если жидкость упруга и сжимаема. Уравнения, выражающие эти условия и изменения движения жидкостей и газов, включают частные разности каждой из координат молекулы, взятые либо по отношению к времени, либо по отношению к первоначальным координатам. Интегрирование такого рода уравнений представляет большие трудности, и до сих пор оно удалось лишь в отдельных случаях, относящихся к движению весомой жидкости в сосудах, к теории звука и к колебаниям морей и атмосферы.

Рассмотрение дифференциальных уравнений движения системы тел привело к открытию нескольких весьма полезных принципов механики, являющихся развитием тех, которые были нами представлены при описании движения точки во II главе этой книги.

Материальная точка движется равномерно по прямой, если она не испытывает посторонних воздействий. В системе тел, действующих друг па друга, но не подверженных действию внешних сил, общий центр тяжести движется равномерно по прямой, и его движение таково, как если бы все тела были сосредоточены в этой точке и все силы, увлекающие их, непосредственно приложены к ней, так что направление и величины их равнодействующей остаются постоянно неизменными.

Мы видели, что радиус-вектор тела, подверженного действию силы, направленной к неподвижной точке, описывает площади, пропорциональные времени. Если предположить, что система тел, действующих друг на друга каким-либо способом, подвержена действию силы, направленной к неподвижной точке, и если из этой точки к каждому из тел провести радиус-вектор и спроектировать их на неизменную плоскость, проходящую через эту точку, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора, пропорциональна времени. В этом состоит принцип сохранения площадей.

Если нет неподвижной точки, притягивающей систему, или она подвержена только взаимному действию ее частей, за начало радиусов-векторов можно взять любую точку.

Произведение массы тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора за единицу времени, равно проекции полной силы этого тела, умноженной на перпендикуляр, опущенный из неподвижной точки на направление спроектированной таким способом силы. Это последнее произведение представляет момент силы, вращающей систему вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции и проходящей через неподвижную точку. Итак, принцип сохранения площадей сводится к тому, что сумма окончательных сил, вращающих систему вокруг какой-либо оси, проходящей через неподвижную точку, в состоянии равновесия равная нулю, постоянна в состоянии движения. Представленный таким способом этот принцип подходит для всех возможных законов, которые могли бы связывать силу и скорость.

Живой силой системы называют сумму произведений массы каждого тела на квадрат его скорости. Когда тело движется по кривой или по поверхности, не испытывая действия посторонних сил, его живая сила все время остается постоянной, так как постоянна его скорость. Если тела системы не испытывают других взаимодействий, кроме их взаимного притяжения и давления либо непосредственно, либо посредством нерастяжимых и не упругих стержней и нитей, живая сила системы постоянна даже в том случае, если некоторые из ее тел принуждены двигаться по кривым линиям и поверхностям. Этот принцип, названный принципом сохранения живых сил, распространяется на все возможные законы, связывающие силу и скорость, если под живой силой тела

понимать удвоенный интеграл произведения его скорости на дифференциал приложенной к нему конечной силы.

При движении тела, побуждаемого какими-либо силами, изменение живой силы равно удвоенному произведению массы тела на сумму ускоряющих сил, умноженных, соответственно, на величины элементарных перемещений тела в направлении к началам этих сил. В движении системы тел удвоенная сумма всех этих произведений равна изменению живой силы системы.

Представим себе, что при движении системы все тела под влиянием приложенных к ним ускоряющих сил в одно и то же время приходят в положение равновесия. Изменение живой силы, по принципу возможных скоростей, будет равно нулю. Поэтому живая сила тогда будет максимальна или минимальна. Если бы система двигалась лишь посредством простых колебаний только одного вида, тела, выходя из положения равновесия, стремились бы к нему вернуться, если равновесие — устойчивое. Их скорости уменьшались бы по мере удаления от этого положения, и, следовательно, в этом положении живая сила имела бы максимум. Но если равновесие неустойчивое, тела, отдалившись от него, стремились бы удалиться еще дальше, их скорости возрастали бы и живая сила была бы в этом случае минимальна. Отсюда можно заключить, что если живая сила постоянно максимальна, когда все тела системы приходят в состояние равновесия одновременно, то, какова бы ни была их скорость, равновесие устойчиво. И наоборот, как абсолютная, так и относительная устойчивость отсутствуют, если живая сила в этом положении минимальна.

Наконец, мы видели во II главе, что сумма интегралов произведений каждой конечной силы системы на элемент ее направления, сумма, которая в состоянии равновесия равна нулю, в состоянии движения становится минимальной. В этом состоит принцип наименьшего действия, отличающийся от принципов равномерного движения центра тяжести, сохранения площадей и сохранения живых сил тем, что эти принципы суть истинные интегралы дифференциальных уравнений движения тел, тогда как принцип наименьшего действия — особое сочетание этих самых уравнений.

Так как конечная сила тела есть произведение его массы на скорость, а скорость, умноженная на путь, пройденный за элемент времени, равна произведению этого элемента на квадрат скорости, то принцип наименьшего действия может быть выражен следующим образом.

Интеграл живой силы, умноженный на элемент времени, минимален. Таким образом, истинная экономия природы сводится к экономии живой силы. Эту экономию нужно иметь в виду при конструировании машин, которые тем совершеннее, чем меньшую живую силу они затрачивают для производства определенного действия. Если тела не подчинены никакой ускоряющей силе, живая сила системы постоянна. Поэтому система переходит от одного положения к любому другому за кратчайшее время.

О применимости этих принципов надо сделать важное замечание. Принцип равномерного движения центра тяжести и принцип сохранения площадей остаются в силе даже в случае, если из-за взаимного действия тел возникают резкие изменения в их движениях, и это делает эти принципы очень полезными при многих обстоятельствах. Что же касается принципа сохранения живых сил и принципа наименьшего действия, то они предусматривают, чтобы изменения в движении системы происходили постепенно, неощутимыми переходами.

Если система подвергается резким изменениям под влиянием взаимного действия тел или при встрече с препятствиями, живая сила при каждом таком изменении претерпевает уменьшение, равное сумме произведений каждого тела на квадрат его утраченной скорости; если представить себе, что его скорость, существовавшая до этого времени, разложена на две, из которых одна — остается, а другая — уничтожается, то квадрат этой последней, очевидно, равен сумме квадратов отклонений, претерпеваемых в результате этого изменения скорости, разложенной параллельно трем каким-либо взаимно перпендикулярным осям.

Все эти принципы остаются в силе и при относительном движении тел системы, если она увлекается общим движением вместе с центрами сил, которые мы раньше предполагали неподвижными. Эти принципы сохраняются также при относительных движениях тел на Земле, так как невозможно, как мы уже видели, судить об абсолютном движении системы тел единственно только по видимым проявлениям ее относительного движения.

Каковы бы ни были движения системы и изменения, испытываемые ею под влиянием взаимных действий отдельных ее частей, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора вокруг общего центра тяжести на плоскости, проходящей через этот центр и всегда остающейся параллельной самой себе, постоянна. Плоскость, на которой эта сумма максимальна, сохраняет параллельное самой себе положение при движении системы. Эта же сумма равна нулю по отношению ко всем плоскостям, проходящим через центр тяжести перпендикулярно плоскости, о которой шла речь. Квадраты трех таких сумм, относящиеся к трем взаимно перпендикулярным плоскостям, проходящим через центр тяжести, равны квадрату вышеупомянутой максимальной суммы. Плоскость, соответствующая этой сумме, имеет еще то замечательное свойство, что сумма проекций площадей, описанных телами вокруг друг друга и умноженных, соответственно, на произведение масс каждых двух тел, соединенных радиусом-вектором, максимальна на этой плоскости и на всех других, параллельных ©й. Поэтому во всякий момент можно найти плоскость, которая, проходя через какую-либо из точек системы, всегда сохраняет параллельное положение. Но поскольку две из произвольных постоянных этого движения исчезают, если движение тел отнести к этой плоскости, то естественно выбрать ее в качестве плоскости координат и их начало поместить в центр тяжести системы.

О ТЕОРИИ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Выдумки мнений день уничтожает,

А суждения природы подтверждает.

Цицерон. О природе богов.

Теперь, когда в предыдущих книгах изложены законы небесных движений и действий движущих сил, остается их сравнить, чтобы узнать силы, движущие тела солнечной системы, причем без каких-либо гипотез, а путем последовательных геометрических рассуждений прийти к принципу всемирного тяготения, из которого эти законы вытекают. Именно в небесном пространстве законы механики наблюдаются с наибольшей точностью. На Земле их результаты осложняет столько обстоятельств, что эти законы трудно распознать и еще труднее подчинить вычислениям. Но движения тел солнечной системы, разделенных громадными расстояниями и подверженных действию главной силы, влияние которой легко вычислить, искажаются только такими малыми силами, что оказалось возможным в основных формулах охватить все изменения в этой системе, уже происшедшие и те, которые должны произойти с течением времени. Здесь нет места неясным причинам, не поддающимся анализу и изменяемым по прихоти воображения, чтобы объяснить явление. Закон всемирного тяготения имеет то преимущество, что поддается вычислениям, и, сравнивая результаты этих вычислений с наблюдениями, можно получить наиболее верный способ подтверждения его существования. Мы увидим, что этот великий закон природы представляет все небесные явления, вплоть до самых малых подробностей; что нет ни одного самого малого неравенства, которое не вытекало бы с удивительной точностью из этого закона, и что часто он опережал наблюдения, открывая нам причины многих странных движений, которые хотя и предвиделись астрономами, но из-за своей сложности и исключительной медленности могли бы быть определены посредством одних только наблюдений лишь через многие века. С помощью этого закона эмпиризм был полностью изгнан из астрономии, являющейся теперь великой проблемой механики, для которой элементы движения светил, их фигуры и их массы — независимые и единственно необходимые данные, которые эта наука должна получать из наблюдений. Потребовалась самая изощренная геометрия для разрешения этой проблемы и для вывода теорий различных явлений, представляемых нам небесами. Я их собрал в моей «Небесной механике». Здесь я ограничусь лишь изложением главных положений этого труда, отмечая путь, по которому следовали геометры, чтобы их получить, и попытаюсь сделать понятными их доводы, насколько это возможно без применения математического анализа.